Упр.833 ГДЗ Зубарева Мордкович 6 класс ФГОС (Математика)

б) Сумма двух натуральных чисел кратна 10. Каким могут быть остатки каждого из них при делении на 10?

а) Пусть числа $$a$$ и $$b$$ при делении на $$5$$ дают одинаковый ненулевой остаток $$p$$. Тогда

$$a=5n+p,\quad b=5m+p,$$

где $$p\neq 0$$.

Найдём сумму:

$$a+b=(5n+p)+(5m+p)=5(n+m)+2p.$$

Чтобы сумма была кратна $$5$$, число $$2p$$ тоже должно делиться на $$5$$. Но при $$p=1,2,3,4$$ это невозможно. Значит, сумма чисел $$a$$ и $$b$$ не может быть кратна $$5$$.

Найдём разность:

$$a-b=(5n+p)-(5m+p)=5(n-m).$$

Следовательно, разность чисел $$a$$ и $$b$$ всегда кратна $$5$$.

б) Пусть остатки при делении чисел на $$10$$ равны $$r$$ и $$s$$. Тогда сумма этих чисел кратна $$10$$, значит, сумма остатков должна давать $$10$$:

$$r+s=10.$$

Возможные пары остатков:

$$ (1;9),\ (2;8),\ (3;7),\ (4;6),\ (5;5). $$

Если один из остатков равен $$0$$, то второй тоже должен быть равен $$0$$, но в этом случае сумма также кратна $$10$$. Поэтому возможна и пара $$ (0;0). $$

Ответ

а) Сумма не может быть кратна $$5$$, а разность может и всегда кратна $$5$$.
б) Остатки могут быть такими: $$ (0;0),\ (1;9),\ (2;8),\ (3;7),\ (4;6),\ (5;5). $$