Упр.682 Часть 2 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Виленкин, Жохов, Чесноков 6 класс, Мнемозина: 682. Постройте в координатной плоскости треугольник MKN, если М(-7; -5), N(-3; 5), К(7; 1). Измерьте углы и стороны этого треугольника. Найдите координаты середины стороны MN.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$ MN=\sqrt{(7-(-7))^2+(1-(-5))^2}=\sqrt{14^2+6^2}=\sqrt{232}\approx 15{,}2 $$
$$ MK=\sqrt{((-3)-(-7))^2+(5-(-5))^2}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}\approx 10{,}8 $$
$$ KN=\sqrt{(7-(-3))^2+(1-5)^2}=\sqrt{10^2+(-4)^2}=\sqrt{116}\approx 10{,}8 $$

Так как $$MK=KN$$, треугольник равнобедренный. Проверим угол при вершине $$K$$:

$$ \overrightarrow{KM} = (-7-(-3),\, -5-5)=(-4,-10), $$
$$ \overrightarrow{KN} = (7-(-3),\, 1-5)=(10,-4). $$

Их скалярное произведение равно:

$$ (-4)\cdot 10+(-10)\cdot(-4)=-40+40=0. $$

Значит, $$\angle K=90^\circ$$. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике остальные углы равны:

$$ \angle M=\angle N=45^\circ. $$

Найдём координаты середины стороны $$MN$$:

$$ x_0=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{-7+7}{2}=0, $$
$$ y_0=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{-5+1}{2}=-2. $$