Упр.529 Часть 2 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Виленкин, Жохов, Чесноков 6 класс, Мнемозина: 529. Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его вершин А(-8; 6), B(6; 5), C(1; -3), D(-7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 vilenkin6 part2/529 65

Найдём середины диагоналей четырёхугольника.

Для диагонали $$AC$$:

$$ x_E=\frac{-8+1}{2}=\frac{-7}{2}, \qquad y_E=\frac{6+(-3)}{2}=\frac{3}{2} $$

Для диагонали $$BD$$:

$$ x_E=\frac{6+(-7)}{2}=\frac{-1}{2}, \qquad y_E=\frac{5+1}{2}=3 $$

Так как точка пересечения диагоналей должна иметь одни и те же координаты, используем уравнения прямых диагоналей.

Прямая $$AC$$ проходит через точки $$A(-8;6)$$ и $$C(1;-3)$$. Её угловой коэффициент:

$$ k=\frac{-3-6}{1-(-8)}=\frac{-9}{9}=-1 $$

Значит, уравнение прямой $$AC$$:

$$ y-6=-1(x+8) $$
$$ y=-x-2 $$

Прямая $$BD$$ проходит через точки $$B(6;5)$$ и $$D(-7;1)$$. Её угловой коэффициент:

$$ k=\frac{1-5}{-7-6}=\frac{-4}{-13}=\frac{4}{13} $$

Тогда уравнение прямой $$BD$$:

$$ y-5=\frac{4}{13}(x-6) $$

Найдём точку пересечения, решив систему:

$$ \begin{cases} y=-x-2,\\ y-5=\frac{4}{13}(x-6) \end{cases} $$

Подставим $$y=-x-2$$ во второе уравнение:

$$ -x-2-5=\frac{4}{13}(x-6) $$
$$ -x-7=\frac{4}{13}(x-6) $$
$$ -13x-91=4x-24 $$
$$ -17x=67 $$
$$ x=-\frac{67}{17} $$

Тогда

$$ y=-\left(-\frac{67}{17}\right)-2=\frac{67}{17}-\frac{34}{17}=\frac{33}{17} $$

Следовательно, точка пересечения отрезков $$AC$$ и $$BD$$ имеет координаты $$\left(-\frac{67}{17};\frac{33}{17}\right)$$.

Ответ

$$\left(-\frac{67}{17};\frac{33}{17}\right)$$