Упр.519 Часть 2 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс (Математика)

1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + 1/(3 * 4) + 1/(4 * 5) + 1/(5 * 6) + 1/(6 * 7) + 1/(7 * 8) + 1/(8 * 9) + 1/(9 * 10).

Представим каждую дробь в виде разности двух соседних дробей:

$$ \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{2-1}{1\cdot 2}=\frac12-\frac11, $$
$$ \frac{1}{2\cdot 3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13, $$
$$ \frac{1}{3\cdot 4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14, $$
$$ \frac{1}{4\cdot 5}=\frac45-\frac14, $$
$$ \frac{1}{5\cdot 6}=\frac15-\frac16, $$
$$ \frac{1}{6\cdot 7}=\frac16-\frac17, $$
$$ \frac{1}{7\cdot 8}=\frac17-\frac18, $$
$$ \frac{1}{8\cdot 9}=\frac18-\frac19, $$
$$ \frac{1}{9\cdot 10}=\frac19-\frac1{10}. $$

Тогда сумма примет вид:

$$ \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{10}\right). $$

При сложении все промежуточные дроби сокращаются, и остаётся:

$$ 1-\frac1{10}=\frac9{10}. $$

Ответ

$$\frac9{10}$$