Упр.264 Часть 1 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс (Математика)

Такие числа называли фигурными. Например, число 10 называли треугольным, число 16 — квадратным (рис. 13).
Такое представление помогало древним учёным изучать свойства чисел. Используя рисунок 13, попробуйте найти ещё несколько треугольных и квадратных чисел. Какими свойствами обладают эти числа? Подумайте, как можно находить треугольные и квадратные числа, используя ряд натуральных чисел.
1) Треугольные числа – 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; …
Новое треугольное число получается, если к известному треугольному числу прибавить (отнять) натуральное число на 1 больше, чем число точек в основании треугольника.
По ряду натуральных чисел можно находить так:
1+2=3;
3+3=6;
6+4=10;
10+5=15 и т.д.
Закономерность – число, которое прибавляем, увеличивается с каждым разом на 1.
Треугольное число можно найти по формуле:
T_n=(n(n+1))/2, где n – натуральное число.
Например, пусть n=10:
T_10=(10•(10+1))/2=(10•11)/2=5•11=55 – число кружков.
Свойства треугольных чисел:
— сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат числа;
— чётность элементов последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
2) Квадратные числа – 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; …
Квадратные числа – это произведение двух одинаковых натуральных чисел, т.е. являются полными квадратами.
По ряду натуральных чисел можно находить следующим образом:
4+5=9;
9+7=16;
16+9=25;
25+11=36 и т.д.
Закономерность — сначала 5, затем 7, далее 9, т.е. число, которое прибавляем, каждый раз увеличивается на 2.
Формула следующая: T=n^2
Свойства квадратных чисел:
— каждое чётное квадратное число равно учетверённой сумме последовательных треугольных чисел: 36=4•(3+6);
64=4•(6+10).
— каждое нечётное квадратное число равно сумме восьми равных треугольных чисел и 1: 25=3•8+1.
3) Пятиугольные числа: 1; 5; 12; 22; 35; 51; 70; 92; 117; 145; …
4) Шестиугольные числа: 1; 6; 15; 28; 45; 66; 91; 120; 153; 190; …

1) Треугольные числа: $$1;\ 3;\ 6;\ 10;\ 15;\ 21;\ 28;\ 36;\ldots$$

Каждое следующее треугольное число можно получить, прибавляя к предыдущему натуральное число, которое каждый раз увеличивается на 1:

$$ 1+2=3 \\ 3+3=6 \\ 6+4=10 \\ 10+5=15 $$

Общий вид треугольного числа:

$$ T_n=\frac{n(n+1)}{2}, \quad n \in \mathbb{N} $$

Например, при $$n=10$$:

$$ T_{10}=\frac{10\cdot(10+1)}{2}=\frac{10\cdot11}{2}=5\cdot11=55 $$

Свойства треугольных чисел:

• сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат;
• чётность членов последовательности повторяется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

2) Квадратные числа: $$1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49;\ldots$$

Квадратные числа — это полные квадраты натуральных чисел, то есть:

$$ T=n^2 $$

Их можно находить по ряду натуральных чисел так:

$$ 4+5=9 \\ 9+7=16 \\ 16+9=25 \\ 25+11=36 $$

Здесь каждое следующее прибавляемое число увеличивается на 2.

Свойства квадратных чисел:

• каждое чётное квадратное число равно учетверённой сумме последовательных треугольных чисел: $$36=4\cdot(3+6),\ 64=4\cdot(6+10)$$;
• каждое нечётное квадратное число можно представить как сумму восьми и 1: $$25=3\cdot8+1$$.

3) Пятиугольные числа: $$1;\ 5;\ 12;\ 22;\ 35;\ 51;\ 70;\ 92;\ 117;\ 145;\ldots$$

4) Шестиугольные числа: $$1;\ 6;\ 15;\ 28;\ 45;\ 66;\ 91;\ 120;\ 153;\ 190;\ldots$$

Ответ

Треугольные числа: $$1;\ 3;\ 6;\ 10;\ 15;\ 21;\ 28;\ 36;\ldots$$, квадратные числа: $$1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49;\ldots$$, пятиугольные числа: $$1;\ 5;\ 12;\ 22;\ 35;\ 51;\ 70;\ 92;\ 117;\ 145;\ldots$$, шестиугольные числа: $$1;\ 6;\ 15;\ 28;\ 45;\ 66;\ 91;\ 120;\ 153;\ 190;\ldots$$