Упр.6.68 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 2, Просвещение (Математика)

1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + 1/(5·6) + 1/(6·7) + 1/(7·8) + 1/(8·9) + 1/(9·10)/

Представим каждый дробный член в виде разности соседних дробей:

$$ \frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac12,\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,\quad \frac{1}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,\quad \ldots,\quad \frac{1}{9\cdot 10}=\frac19-\frac1{10} $$

Тогда сумма примет вид:

$$ \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{10}\right) $$

При раскрытии скобок все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся:

$$ 1-\frac1{10}=\frac9{10} $$

Ответ

$$ \frac9{10} $$