Упр.6.54 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 2, Просвещение (Математика)

а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки.
б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон AС, ВС и AВ. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника AВС.

Найдём, какие стороны треугольника лежат на вертикальных и горизонтальных прямых.

Точки $$A(3;5)$$ и $$B(3;-2)$$ имеют одинаковую абсциссу, значит, отрезок $$AB$$ вертикальный.
Точки $$B(3;-2)$$ и $$C(-5;-2)$$ имеют одинаковую ординату, значит, отрезок $$BC$$ горизонтальный.

Следовательно, $$AB \perp BC$$, значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, прямой угол у вершины $$B$$.

Теперь рассмотрим середины сторон. Пусть $$K$$, $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$, $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Значит:

$$ KM \parallel AB,\quad MN \parallel AC,\quad KN \parallel BC $$

и поэтому

$$ KM=\frac{AB}{2},\quad MN=\frac{AC}{2},\quad KN=\frac{BC}{2}. $$

Отсюда получаем пропорцию сторон треугольников:

$$ \frac{AC}{MN}=\frac{BC}{KN}=\frac{AB}{KM}=2. $$

Значит, длины сторон треугольника $$KMN$$ пропорциональны длинам сторон треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$AB \perp BC$$, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
$$\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{BC}{KN}=\dfrac{AB}{KM}=2$$, поэтому стороны треугольника $$KMN$$ пропорциональны сторонам треугольника $$ABC$$.