Упр.2.99 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?
б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение. Назовите наименьшее общее кратное чисел а и b в виде разложения на простые множители, если:
а) a = 2 · 7, b = 7 · 9;
б) a = 2 · 3 · 3 · 3 · 7, b = 2 · 3 · 3 · 11.
Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a,и b (делится и на a,и на b).
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо:
— разложить их на простые множители;
— выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
— добавить к ним недостающие множители из разложения второго числа;
— найти значение получившегося произведения.
а) a=2•7,b=7•9
НОК(a; b)=2•7•9
б) a=2•3•3•3•7,b=2•3•3•11
НОК(a; b)=2•3•3•3•7•11

Подробный ответ

Разложим числа в парах на простые множители:

$$ 9=3\cdot 3,\quad 13\text{ — простое число} $$
$$ 15=3\cdot 5,\quad 19\text{ — простое число} $$
$$ 24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3,\quad 35=5\cdot 7 $$
$$ 27=3\cdot 3\cdot 3,\quad 32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 $$

а) В каждой паре общих простых множителей нет, значит, числа взаимно простые:

$$ \gcd(9,13)=1,\quad \gcd(15,19)=1,\quad \gcd(24,35)=1,\quad \gcd(27,32)=1 $$

б) Если числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел:

$$ \operatorname{НОК}(9,13)=9\cdot 13=117 $$
$$ \operatorname{НОК}(15,19)=15\cdot 19=285 $$
$$ \operatorname{НОК}(24,35)=24\cdot 35=840 $$
$$ \operatorname{НОК}(27,32)=27\cdot 32=864 $$

Предположение: если два числа взаимно простые, то их НОК равен произведению этих чисел.

Теперь найдём НОК по разложению на простые множители.

а) $$a=2\cdot 7,\quad b=7\cdot 9=7\cdot 3\cdot 3$$

Берём все множители из разложения одного числа и добавляем недостающие из второго:

$$ \operatorname{НОК}(a,b)=2\cdot 7\cdot 3\cdot 3=126 $$

б) $$a=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7,\quad b=2\cdot 3\cdot 3\cdot 11$$

Добавляем к разложению первого числа недостающий множитель $11$:

$$ \operatorname{НОК}(a,b)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7\cdot 11=4158 $$