Упр.2.79 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?
Произведение двух простых чисел – это составное число.
Например, числа 5 и 13 являются простыми.
Их произведение 5•13 равно 65.
Число 65 является составным числом (так как его можно представить в виде произведения двух простых множителей 5 и 13).
Если запишем 13•5, то всё равно получится составное число 65 (и множители те же 5 и 13).
В задании предлагается найти четыре различных простых числа.
Возьмём ещё пару простых чисел, например, 3 и 7.
3 не равно 5 не равно 7 не равно 13
3•7=21
Число 21 является составным, его можно разложить на два простых множителя (только 3 и 7).
21 не равно 65
3•7 не равно 5•13
Таким образом, невозможно найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других, так как произведение двух простых чисел – это составное число, а оно может быть представлено в виде произведения простых множителей только одним способом.

Подробный ответ

Пусть найдены четыре различных простых числа, для которых произведение двух из них равно произведению двух других. Тогда получаем равенство вида $$a \cdot b = c \cdot d,$$ где $$a, b, c, d$$ — различные простые числа.

Но произведение двух простых чисел — это составное число. У составного числа разложение на простые множители единственно с точностью до порядка множителей. Значит, если

$$a \cdot b = c \cdot d,$$

то пары простых множителей должны совпадать, то есть среди чисел $$a, b, c, d$$ не могут быть все четыре различными.

Следовательно, таких четырёх различных простых чисел не существует.