Упр.2.69 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

а) Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе?
Количество человек в каждой группе – это наибольший делитель чисел 108 и 144 (так как мальчиков в каждой группе было одинаковое количество и девочек тоже было поровну во всех группах).
Разложим числа 108 и 144 на простые множители.
144=2•2•2•2•3•3
Общие множители чисел: 2; 2; 3; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (108; 144)=2•2•3•3=4•9=36
Значит, наибольшее количество человек в каждой группе, равно 36.
б) Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?
108:36=3 (группы) – мальчиков.
144:36=4 (группы) – девочек.
Ответ: 36 человек; 3 группы мальчиков и 4 группы девочек. Укажите взаимно простые числа:
а) 45 и 50; б) 99 и 40; в) 15, 30, 47; г) 249 и 310.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Значит, необходимо в каждом случае найти наибольший общий делитель.
Если НОД=1, то числа взаимно простые.
а) Разложим числа 45 и 50 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
45=3•3•5
50=2•5•5
Общий множитель 5.
НОД (45,50)=5
Значит, числа 45 и 50 не являются взаимно простыми.
б) Разложим числа 99 и 40 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
99=3•3•11
40=2•2•2•5
Общих множителей в разложении нет.
Общий делитель равен числу 1.
Он же является наибольшим общим делителем.
НОД (99,40)=1
Значит, числа 99 и 40 являются взаимно простыми.
в) Разложим числа 15, 30 и 47 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
15=3•5
30=2•3•5
47=47
Общих множителей в разложении нет.
Общий делитель равен числу 1.
Он же является наибольшим общим делителем.
НОД (15,30,47)=1
Значит, числа 15, 30 и 47 являются взаимно простыми.
г) Разложим числа 249 и 310 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
249=3•83
310=2•5•31
Общих множителей в разложении нет.
Общий делитель равен числу 1.
Он же является наибольшим общим делителем.
НОД (249,310)=1
Значит, числа 249 и 310 являются взаимно простыми.

а) Найдём наибольшее количество человек в каждой группе. Для этого вычислим наибольший общий делитель чисел $$108$$ и $$144$$.

$$ 108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\ 144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 $$

Общие множители: $$2, 2, 3, 3$$.

$$ \text{НОД}(108;144)=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3=36 $$

Значит, в каждой группе могло быть $$36$$ человек.

б) Тогда число групп:

$$ 108:36=3 $$

Это группы мальчиков.

$$ 144:36=4 $$

Это группы девочек.

Ответ

а) $$36$$ человек; б) $$3$$ группы мальчиков и $$4$$ группы девочек.

Ход решения

Взаимно простые числа — это числа, у которых $$\text{НОД}=1$$.

а) $$45=3 \cdot 3 \cdot 5$$, $$50=2 \cdot 5 \cdot 5$$.

$$ \text{НОД}(45;50)=5 $$

Числа $$45$$ и $$50$$ не являются взаимно простыми.

б) $$99=3 \cdot 3 \cdot 11$$, $$40=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$$.

$$ \text{НОД}(99;40)=1 $$

Числа $$99$$ и $$40$$ взаимно простые.

в) $$15=3 \cdot 5$$, $$30=2 \cdot 3 \cdot 5$$, $$47$$ — простое число.

$$ \text{НОД}(15;30;47)=1 $$

Числа $$15$$, $$30$$ и $$47$$ взаимно простые.

г) $$249=3 \cdot 83$$, $$310=2 \cdot 5 \cdot 31$$.

$$ \text{НОД}(249;310)=1 $$

Числа $$249$$ и $$310$$ взаимно простые.

Ответ

б) $$99$$ и $$40$$; в) $$15$$, $$30$$ и $$47$$; г) $$249$$ и $$310$$.