Упр.2.67 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Правильные дроби со знаменателем 16:
1/16,2/16,3/16,…,14/16,15/16
(числитель меньше знаменателя).
Из этих дробей необходимо выбрать такие, у которых числитель (число над чертой) и знаменатель (число под чертой) являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).
НОД (1;16)=1
НОД (2;16)=2
НОД (3; 16)=1
И так далее.
Числа в знаменателе и в числителе не вызывают затруднений для устного перебора всех дальнейших пар.
Приходим к выводу, что
НОД (1;16)=1
НОД (3;16)=1
НОД (5;16)=1
НОД (7;16)=1
НОД (9;16)=1
НОД (11;16)=1
НОД (13;16)=1
НОД (15;16)=1
Так как общих делителей, кроме 1, у чисел 1 и 16; 3 и 16; 5 и 16; 7 и 16; 9 и 16; 11 и 16; 13 и 16; 15 и 16 нет. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 45, 60 и 105; в) 108, 72 и 96:
б) 162, 222 и 432; г) 240, 480 и 720.
а) Разложим числа 45, 60 и 105 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
45=3•3•5
60=2•2•3•5
105=3•5•7
Общие множители чисел: 3; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (45;60;105)=3•5=15
б) Разложим числа 162, 222 и 432 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
162=2•3•3•3•3
222=2•3•37
432=2•2•2•2•3•3•3
Общие множители чисел: 2; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (162;222;432)=2•3=6
в) Разложим числа 108, 72 и 96 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
108=2•2•3•3•3
72=2•2•2•3•3
96=2•2•2•2•2•3
Общие множители чисел: 2; 2; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (108;72;96)=2•2•3=4•3=12
г) Разложим числа 240, 480 и 720 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
240=2•2•2•2•3•5
480=2•2•2•2•2•3•5
720=2•2•2•2•3•3•5
Общие множители чисел: 2; 2; 2; 2; 3; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (240;480;720)=2•2•2•2•3•5=10•24=240

Правильные дроби со знаменателем 16 имеют числитель меньше 16. Чтобы дробь была несократимой, числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми, то есть их НОД должен быть равен 1.

Проверим числители от 1 до 15:

$$ \gcd(1,16)=1,\quad \gcd(2,16)=2,\quad \gcd(3,16)=1,\quad \gcd(4,16)=4, $$
$$ \gcd(5,16)=1,\quad \gcd(6,16)=2,\quad \gcd(7,16)=1,\quad \gcd(8,16)=8, $$
$$ \gcd(9,16)=1,\quad \gcd(10,16)=2,\quad \gcd(11,16)=1,\quad \gcd(12,16)=4, $$
$$ \gcd(13,16)=1,\quad \gcd(14,16)=2,\quad \gcd(15,16)=1. $$

Значит, подходят дроби с нечётными числителями:

$$ \frac{1}{16},\ \frac{3}{16},\ \frac{5}{16},\ \frac{7}{16},\ \frac{9}{16},\ \frac{11}{16},\ \frac{13}{16},\ \frac{15}{16}. $$

Найдём НОД чисел.

а) $$45=3\cdot 3\cdot 5,\quad 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5,\quad 105=3\cdot 5\cdot 7.$$
Общие множители: $$3$$ и $$5$$. Тогда

$$ \gcd(45,60,105)=3\cdot 5=15. $$

б) $$162=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3,\quad 222=2\cdot 3\cdot 37,\quad 432=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3.$$
Общие множители: $$2$$ и $$3$$. Тогда

$$ \gcd(162,222,432)=2\cdot 3=6. $$

в) $$108=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3,\quad 72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3,\quad 96=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3.$$
Общие множители: $$2,\ 2,\ 3$$. Тогда

$$ \gcd(108,72,96)=2\cdot 2\cdot 3=12. $$

г) $$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5,\quad 480=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5,\quad 720=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5.$$
Общие множители: $$2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 5$$. Тогда

$$ \gcd(240,480,720)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=240. $$

Ответ

$$ \frac{1}{16},\ \frac{3}{16},\ \frac{5}{16},\ \frac{7}{16},\ \frac{9}{16},\ \frac{11}{16},\ \frac{13}{16},\ \frac{15}{16}; $$
а) $$15$$; б) $$6$$; в) $$12$$; г) $$240$$.