Упр.2.66 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Значит, необходимо найти среди данных чисел такие пары, чей наибольший общий делитель равен 1 (то есть эти числа при разложении на простые множители не будут иметь одинаковых множителей).
Раскладываем каждое число на простые множители.
6=2•3
15=3•5
30=2•3•5
77=7•11
Видим, какие пары чисел не имеют общих простых множителей:
6 и 77; 15 и 77; 30 и 77. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 324 и 432; б) 225 и 275; в) 504 и 414; г) 825 и 575.
а) Разложим числа 324 и 432 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
324=2•2•3•3•3•3
432=2•2•2•2•3•3•3
Общие множители чисел: 2; 2; 3; 3; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (324;432)=2•2•3•3•3=4•27=108
б) Разложим числа 225 и 275 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
225=3•3•5•5
275=5•5•11
Общие множители чисел: 5; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (225;275)=5•5=25
в) Разложим числа 504 и 414 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
504=2•2•2•3•3•7
414=2•3•3•23
Общие множители чисел: 2; 3; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (504;414)=2•3•3=6•3=18
г) Разложим числа 825 и 575 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
825=3•5•5•11
575=5•5•23
Общие множители чисел: 5; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (825;575)=5•5=25

Подробный ответ

Найдём пары взаимно простых чисел среди чисел $$6,\ 15,\ 30,\ 77$$. Для этого разложим их на простые множители:

$$6=2\cdot 3$$

$$15=3\cdot 5$$

$$30=2\cdot 3\cdot 5$$

$$77=7\cdot 11$$

Взаимно простые числа не имеют общих простых множителей. Число $$77$$ не имеет общих простых множителей ни с $$6$$, ни с $$15$$, ни с $$30$$. Значит, взаимно простые пары такие:

$$6 \text{ и } 77,$$

$$15 \text{ и } 77,$$

$$30 \text{ и } 77.$$

Всего получается три пары.

Найдём наибольший общий делитель:

а) $$324=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3,$$

$$432=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3.$$

Общие множители: $$2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3.$ $$\text{НОД}(324;432)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=108.$$

б) $$225=3\cdot 3\cdot 5\cdot 5,$$ $$275=5\cdot 5\cdot 11.$$ Общие множители: $$5\cdot 5.$

$$\text{НОД}(225;275)=5\cdot 5=25.$$

в) $$504=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7,$$

$$414=2\cdot 3\cdot 3\cdot 23.$$

Общие множители: $$2\cdot 3\cdot 3.$ $$\text{НОД}(504;414)=2\cdot 3\cdot 3=18.$$

г) $$825=3\cdot 5\cdot 5\cdot 11,$$ $$575=5\cdot 5\cdot 23.$$ Общие множители: $$5\cdot 5.$

$$\text{НОД}(825;575)=5\cdot 5=25.$$