Упр.2.63 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

а) 45, 60 и 105; в) 108, 72 и 96:
б) 162, 222 и 432; г) 240, 480 и 720.
а) Разложим числа 45, 60 и 105 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
45=3•3•5
60=2•2•3•5
105=3•5•7
Общие множители чисел: 3; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (45;60;105)=3•5=15
б) Разложим числа 162, 222 и 432 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
162=2•3•3•3•3
222=2•3•37
432=2•2•2•2•3•3•3
Общие множители чисел: 2; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (162;222;432)=2•3=6
в) Разложим числа 108, 72 и 96 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
108=2•2•3•3•3
72=2•2•2•3•3
96=2•2•2•2•2•3
Общие множители чисел: 2; 2; 3.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (108;72;96)=2•2•3=4•3=12
г) Разложим числа 240, 480 и 720 на простые множители и подчеркнём общие множители чисел.
240=2•2•2•2•3•5
480=2•2•2•2•2•3•5
720=2•2•2•2•3•3•5
Общие множители чисел: 2; 2; 2; 2; 3; 5.
Для того чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители.
НОД (240;480;720)=2•2•2•2•3•5=10•24=240
Назовите наибольший общий делитель чисел m и n в виде разложения на простые множители, если:
а) m = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 и n = 2 · 3 · 3 · 3 · 5;
б) m = 2 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 и n = 3 · 3 · 5 · 7 · 7.
Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делятся эти числа без остатка.
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, необходимо:
— разложить их на простые множители;
— из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые входят в разложение других чисел;
— найти произведение этих множителей.
а) m=2•2•2•3•3
n=2•3•3•3•5
НОД (m,n)=2•3•3
б) m=2•5•5•7•7•7
n=3•3•5•7•7
НОД (m,n)=5•7•7

Подробный ответ

Найдём НОД, разложив числа на простые множители и выделив общие множители с наименьшими показателями.

а)

$$ 45=3\cdot 3\cdot 5 \\ 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \\ 105=3\cdot 5\cdot 7 $$
Общие множители: $$3$$ и $$5$$.
$$ \text{НОД}(45;60;105)=3\cdot 5=15 $$

б)

$$ 162=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\ 222=2\cdot 3\cdot 37 \\ 432=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3 $$
Общие множители: $$2$$ и $$3$$.
$$ \text{НОД}(162;222;432)=2\cdot 3=6 $$

в)

$$ 108=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\ 72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 \\ 96=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 $$
Общие множители: $$2,\ 2,\ 3$$.
$$ \text{НОД}(108;72;96)=2\cdot 2\cdot 3=12 $$

г)

$$ 240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \\ 480=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \\ 720=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 $$
Общие множители: $$2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 5$$.
$$ \text{НОД}(240;480;720)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=240 $$

Теперь найдём НОД чисел $$m$$ и $$n$$ по их разложениям на простые множители.

а)

$$ m=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 \\ n=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5 $$
Общие множители: $$2,\ 3,\ 3$$.
$$ \text{НОД}(m;n)=2\cdot 3\cdot 3 $$

б)

$$ m=2\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 7 \\ n=3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 7 $$
Общие множители: $$5,\ 7,\ 7$$.
$$ \text{НОД}(m;n)=5\cdot 7\cdot 7 $$