Упр.2.566 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)
- Найдите произведение дробей $$\frac{4}{5}$$ и $$\frac{13}{9}$$ и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).
Найдём произведение данных дробей:
$$\frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{4\cdot 13}{5\cdot 9}=\frac{52}{45}.$$
Обратные к ним дроби: $$\frac{5}{4}$$ и $$\frac{9}{13}.$$ Тогда
$$\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{5\cdot 9}{4\cdot 13}=\frac{45}{52}.$$
Полученные произведения $$\frac{52}{45}$$ и $$\frac{45}{52}$$ взаимно обратны.
Проверим это ещё на одном примере:
$$\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{15},$$
а для обратных дробей имеем
$$\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{14}.$$
И снова получились взаимно обратные числа.
Докажем это в общем виде. Пусть даны дроби $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{c}{d}.$$ Тогда
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$
Обратные к ним дроби — $$\frac{b}{a}$$ и $$\frac{d}{c}.$$ Их произведение равно
$$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}.$$
Дроби $$\frac{ac}{bd}$$ и $$\frac{bd}{ac}$$ взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Значит, произведение дробей, обратных данным, является дробью, обратной произведению данных дробей.
Ответ
$$\frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{52}{45},\quad \frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{45}{52}.$$
Эти произведения взаимно обратны. В общем виде: если $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},$$ то для обратных дробей $$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac},$$ и эти числа взаимно обратны.
