Упр.2.566 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.
4/5•13/9=(4•13)/(5•9)=52/45
Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Произведение двух дробей будет равно единице, если у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Тогда, дроби 4/5 обратной будет дробь 5/4 , а дроби 13/9 обратной будет дробь 9/13 .
5/4•9/13=(5•9)/(4•13)=45/52
Дроби 52/45 и 45/52 взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Следовательно, если перемножить числа обратные данным, то произведение обратных чисел будет обратно произведению данных чисел.
Рассмотрим теперь произведение дробей 2/5 и 7/3 .
2/5•7/3=(2•7)/(5•3)=14/15
Дроби 2/5 обратной будет дробь 5/2 , а дроби 7/3 обратной будет дробь 3/7 .
5/2•3/7=(5•3)/(2•7)=15/14
Дроби 14/15 и 15/14 взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Если даны числа a/b и c/d , то их произведение a/b•c/d=ac/bd .
Числу a/b обратно число b/a , числу c/d обратно число d/c , то b/a•d/c=bd/ac .
ac/bd и bd/ac — взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.

Найдём произведение данных дробей:

$$\frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{4\cdot 13}{5\cdot 9}=\frac{52}{45}.$$

Обратные к ним дроби: $$\frac{5}{4}$$ и $$\frac{9}{13}.$$ Тогда

$$\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{5\cdot 9}{4\cdot 13}=\frac{45}{52}.$$

Полученные произведения $$\frac{52}{45}$$ и $$\frac{45}{52}$$ взаимно обратны.

Проверим это ещё на одном примере:

$$\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{15},$$

а для обратных дробей имеем

$$\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{14}.$$

И снова получились взаимно обратные числа.

Докажем это в общем виде. Пусть даны дроби $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{c}{d}.$$ Тогда

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$

Обратные к ним дроби — $$\frac{b}{a}$$ и $$\frac{d}{c}.$$ Их произведение равно

$$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}.$$

Дроби $$\frac{ac}{bd}$$ и $$\frac{bd}{ac}$$ взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.

Значит, произведение дробей, обратных данным, является дробью, обратной произведению данных дробей.

Ответ

$$\frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{52}{45},\quad \frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{45}{52}.$$

Эти произведения взаимно обратны. В общем виде: если $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},$$ то для обратных дробей $$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac},$$ и эти числа взаимно обратны.