Упр.2.522 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)
- Найдите произведение дробей $$\frac{4}{5}$$ и $$\frac{13}{9}$$ и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).
- Три бригады посадили ёлочки для нового леса. Первая бригада посадила 35 % всех имевшихся саженцев, вторая 60 % оставшихся саженцев, а третья — остальные 520 саженцев. Сколько всего саженцев посадили?
Найдём произведение дробей:
$$\frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{4\cdot 13}{5\cdot 9}=\frac{52}{45}$$
Обратные к ним дроби: $$\frac{5}{4}$$ и $$\frac{9}{13}$$. Тогда
$$\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{5\cdot 9}{4\cdot 13}=\frac{45}{52}$$
Полученные дроби $$\frac{52}{45}$$ и $$\frac{45}{52}$$ взаимно обратны.
Проверим ещё на одном примере:
$$\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{15}$$
Обратные дроби: $$\frac{5}{2}$$ и $$\frac{3}{7}$$. Тогда
$$\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{14}$$
И снова получились взаимно обратные числа.
Докажем это в общем виде. Пусть даны дроби $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{c}{d}$$. Тогда их произведение равно
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
Обратные к ним дроби — $$\frac{b}{a}$$ и $$\frac{d}{c}$$. Их произведение:
$$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$$
Дроби $$\frac{ac}{bd}$$ и $$\frac{bd}{ac}$$ взаимно обратны, так как в них числитель и знаменатель поменяны местами. Значит, произведение дробей, обратных данным, является дробью, обратной произведению данных дробей.
Ответ
Произведения взаимно обратны. В общем виде: если $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$, то $$\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$$.
