Упр.2.522 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.
4/5•13/9=(4•13)/(5•9)=52/45
Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Произведение двух дробей будет равно единице, если у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Тогда, дроби 4/5 обратной будет дробь 5/4 , а дроби 13/9 обратной будет дробь 9/13 .
5/4•9/13=(5•9)/(4•13)=45/52
Дроби 52/45 и 45/52 взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Следовательно, если перемножить числа обратные данным, то произведение обратных чисел будет обратно произведению данных чисел.
Рассмотрим теперь произведение дробей 2/5 и 7/3 .
2/5•7/3=(2•7)/(5•3)=14/15
Дроби 2/5 обратной будет дробь 5/2 , а дроби 7/3 обратной будет дробь 3/7 .
5/2•3/7=(5•3)/(2•7)=15/14
Дроби 14/15 и 15/14 взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами.
Если даны числа a/b и c/d , то их произведение a/b•c/d=ac/bd .
Числу a/b обратно число b/a , числу c/d обратно число d/c , то b/a•d/c=bd/ac .
ac/bd и bd/ac — взаимно обратны, так как у них числитель и знаменатель поменяны местами. Три бригады посадили ёлочки для нового леса. Первая бригада посадила 35 % всех имевшихся саженцев, вторая 60 % оставшихся саженцев, а третья — остальные 520 саженцев. Сколько всего саженцев посадили?
Величина, от которой вычисляются проценты составляет 100 своих сотых долей, то есть 100%.
По условию задачи первая бригада посадила 35% всех имевшихся саженцев, значит, вторая и третья бригада посадили остальные 100%-35%=65% саженцев.
Также известно, что вторая бригада посадила 60% оставшихся саженцев.
Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа.
Для этого необходимо число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, то есть 60%=60:100=0,60=0,6.
Для того, чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить число на эту дробь.
Значит, 0,6 от 65% равно 65•0,6=39,0=39% .
Таким образом, вторая бригада посадила 39% всех саженцев.
Первая бригада посадила 35% всех саженцев, вторая бригада – 39% всех саженцев, значит, третья бригада посадила
100%-35%-39%=65%-39%=26% всех саженцев.
Известно, что третья бригада посадила 520 саженцев, что составляет 26% всех саженцев.
26%=26:100=0,26 .
Для того, чтобы найти число по данному значению его дроби, необходимо это значение разделить на дробь.
Тогда, всего тремя бригадами посажено
520:0,26=52000:26=2000 саженцев.
Ответ: 2000 саженцев.

Подробный ответ

Найдём произведение дробей:

$$ \frac{4}{5}\cdot\frac{13}{9}=\frac{4\cdot 13}{5\cdot 9}=\frac{52}{45} $$

Обратные к ним дроби: $$\frac{5}{4}$$ и $$\frac{9}{13}$$. Тогда

$$ \frac{5}{4}\cdot\frac{9}{13}=\frac{5\cdot 9}{4\cdot 13}=\frac{45}{52} $$

Полученные дроби $$\frac{52}{45}$$ и $$\frac{45}{52}$$ взаимно обратны.

Проверим ещё на одном примере:

$$ \frac{2}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{15} $$

Обратные дроби: $$\frac{5}{2}$$ и $$\frac{3}{7}$$. Тогда

$$ \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{14} $$

И снова получились взаимно обратные числа.

Докажем это в общем виде. Пусть даны дроби $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{c}{d}$$. Тогда их произведение равно

$$ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} $$

Обратные к ним дроби — $$\frac{b}{a}$$ и $$\frac{d}{c}$$. Их произведение:

$$ \frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac} $$

Дроби $$\frac{ac}{bd}$$ и $$\frac{bd}{ac}$$ взаимно обратны, так как в них числитель и знаменатель поменяны местами. Значит, произведение дробей, обратных данным, является дробью, обратной произведению данных дробей.