Упр.2.244 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть дроби имеют одинаковый знаменатель $$c$$.

Переместительное свойство. Тогда

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

По переместительному свойству сложения натуральных чисел $$a+b=b+a$$, значит

$$\frac{a+b}{c}=\frac{b+a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}.$$

Сочетательное свойство. Рассмотрим сумму трёх дробей с одинаковым знаменателем:

$$\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a+b}{c}+\frac{d}{c}=\frac{a+b+d}{c}.$$

С другой стороны,

$$\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)=\frac{a}{c}+\frac{b+d}{c}=\frac{a+b+d}{c}.$$

Значит,

$$\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right).$$

Таким образом, переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями доказаны.

Ответ

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}, \qquad \left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right).$$