Упр.2.240 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

При каких натуральных значениях k выполняется неравенство:
а) k/11 < 13/66; б) k/95 < 2/19; в) k/7 < 8/56? Для того, чтобы сравнить дроби, их необходимо привести к общему знаменателю, путём умножения на дополнительные множители и или сокращением дроби. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь, у которой числитель меньше, поэтому сравнивают числа, стоящие в числителе. а) k/11<13/66 (k•6)/(11•6)<13/66 6k/66<13/66 при k=1, (6•1)/66<13/66 Или, 6/66<13/66 - верно, так как 6<13. при k=2, (6•2)/66<13/66 Или, 12/66<13/66 - верно, так как 12<13. при k=3, (6•3)/66<13/66 Или, 18/66<13/66 - ложно, так как 18>13.
Продолжив подбирать значения k, получим ложные неравенства.
Таким образом, k=1,2.
б) k/95<2/19 k/95<(2•5)/(19•5) k/95<10/95 при k=1, 1/95<10/95 - верно, так как 1<10. при k=2, 2/95<10/95 - верно, так как 2<10. при k=3, 3/95<10/95 - верно, так как 3<10. при k=4, 4/95<10/95 - верно, так как 4<10. при k=5, 5/95<10/95 - верно, так как 5<10. при k=6, 6/95<10/95 - верно, так как 6<10. при k=7, 7/95<10/95 - верно, так как 7<10. при k=8, 8/95<10/95 - верно, так как 8<10. при k=9, 9/95<10/95 - верно, так как 9<10. при k=10, 10/95<10/95 - ложно, так как 10=10. Продолжив подбирать значения k, получим ложные неравенства. Таким образом, k=1,2,3,4,5,6,7,8,9. в) k/7<8/56 (k•8)/(7•8)<8/56 Или, 8k/56<8/56 при k=1, 8/56<8/56 - ложно, так как 8=8. Продолжив подбирать значения k, получим ложные неравенства. Может подойти только значение k=0, а 0 не является натуральным числом. Таким образом, таких k не существует.

Подробный ответ

Докажем свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть даны дроби $$\frac{a}{c}$$, $$\frac{b}{c}$$ и $$\frac{d}{c}$$.

Переместительное свойство:

$$ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}=\frac{b+a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c} $$

Так как для натуральных чисел верно $$a+b=b+a$$, то и для дробей с одинаковыми знаменателями выполняется переместительное свойство.

Сочетательное свойство:

$$ \left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c} =\frac{a+b}{c}+\frac{d}{c} =\frac{a+b+d}{c} $$

$$ \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right) =\frac{a}{c}+\frac{b+d}{c} =\frac{a+b+d}{c} $$

Обе части равны одному и тому же выражению $$\frac{a+b+d}{c}$$, значит, сочетательное свойство тоже выполняется.

Теперь решим неравенства. Если у дробей одинаковые знаменатели, то меньше та дробь, у которой меньше числитель.

а)

$$ \frac{k}{11}<\frac{13}{66} $$

Приведём левую дробь к знаменателю 66:

$$ \frac{k}{11}=\frac{6k}{66} $$

Тогда

$$ \frac{6k}{66}<\frac{13}{66} $$

Значит,

$$ 6k<13 $$

При натуральных значениях $$k$$ получаем: $$k=1,2$$.

б)

$$ \frac{k}{95}<\frac{2}{19} $$

Приведём правую дробь к знаменателю 95:

$$ \frac{2}{19}=\frac{10}{95} $$

Тогда

$$ \frac{k}{95}<\frac{10}{95} $$

Следовательно,

$$ k<10 $$

При натуральных значениях $$k$$ это числа $$1,2,3,4,5,6,7,8,9$$.

в)

$$ \frac{k}{7}<\frac{8}{56} $$

Сократим правую дробь:

$$ \frac{8}{56}=\frac{1}{7} $$

Получаем

$$ \frac{k}{7}<\frac{1}{7} $$

Но при натуральном $$k$$ число $$\frac{k}{7}$$ не может быть меньше $$\frac{1}{7}$$, так как тогда должно быть $$k<1$$. Натуральных значений $$k$$, удовлетворяющих неравенству, нет.