Упр.2.240 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

1. Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.
2. При каких натуральных значениях $$k$$ выполняется неравенство:
   а) $$\frac{k}{11}<\frac{13}{66}$$; б) $$\frac{k}{95}<\frac{2}{19}$$; в) $$\frac{k}{7}<\frac{8}{56}$$?

Докажем свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть даны дроби $$\frac{a}{c}$$, $$\frac{b}{c}$$ и $$\frac{d}{c}$$.

Переместительное свойство:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}=\frac{b+a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$$

Так как для натуральных чисел верно $$a+b=b+a$$, то и для дробей с одинаковыми знаменателями выполняется переместительное свойство.

Сочетательное свойство:

$$\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c} =\frac{a+b}{c}+\frac{d}{c} =\frac{a+b+d}{c}$$

$$\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right) =\frac{a}{c}+\frac{b+d}{c} =\frac{a+b+d}{c}$$

Обе части равны одному и тому же выражению $$\frac{a+b+d}{c}$$, значит, сочетательное свойство тоже выполняется.

Теперь решим неравенства. Если у дробей одинаковые знаменатели, то меньше та дробь, у которой меньше числитель.

а)

$$\frac{k}{11}<\frac{13}{66}$$

Приведём левую дробь к знаменателю 66:

$$\frac{k}{11}=\frac{6k}{66}$$

Тогда

$$\frac{6k}{66}<\frac{13}{66}$$

Значит,

$$6k<13$$

При натуральных значениях $$k$$ получаем: $$k=1,2$$.

б)

$$\frac{k}{95}<\frac{2}{19}$$

Приведём правую дробь к знаменателю 95:

$$\frac{2}{19}=\frac{10}{95}$$

Тогда

$$\frac{k}{95}<\frac{10}{95}$$

Следовательно,

$$k<10$$

При натуральных значениях $$k$$ это числа $$1,2,3,4,5,6,7,8,9$$.

в)

$$\frac{k}{7}<\frac{8}{56}$$

Сократим правую дробь:

$$\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Получаем

$$\frac{k}{7}<\frac{1}{7}$$

Но при натуральном $$k$$ число $$\frac{k}{7}$$ не может быть меньше $$\frac{1}{7}$$, так как тогда должно быть $$k<1$$. Натуральных значений $$k$$, удовлетворяющих неравенству, нет.

Ответ

Переместительное свойство: $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$$.

Сочетательное свойство: $$\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)$$.

а) $$k=1,2$$; б) $$k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$$; в) таких натуральных $$k$$ нет.