Упр.2.157 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

Известно, что при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями (в нашем случае — дроби с знаменателем 13), больше та дробь, числитель которой больше (в нашем случае – больше 7).
Значит, меньше та дробь, числитель которой меньше (в нашем случае – меньше 15).
Таким образом, подходят дроби с знаменателем 13, и числителем 7 1/25; в) 11/825 < 16/1155? а) Для доказательства неравенства 1/7<111/700 , необходимо сравнить данные дроби. Для того, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю. Для этого необходимо определить для чисел 7 и 700 их наименьшее общее кратное (НОК). 7 – простое число. 700=2•2•5•5•7 Для того, чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (в данном случае их нет) добавить к множителям большего числа и перемножить их: НОК(7,700)=2•2•5•5•7=700 Далее определим дополнительный множитель для дроби 1/7 . 700:7=100 – дополнительный множитель для дроби 1/7 . 1/7=(1•100)/(7•100)=100/700 Теперь сравниваем дроби 100/700 и 111/700 . Так как 100<111, значит, 100/700<111/700 Таким образом, 1/7<111/700 Что и требовалось доказать. б) Для доказательства неравенства 307/7500>1/25 , необходимо сравнить данные дроби.
Для того, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
Для этого необходимо определить для чисел 7500 и 25 их наименьшее общее кратное (НОК).
7500=2•2•3•5•5•5•5
25=5•5
Для того, чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (в данном случае их нет) добавить к множителям большего числа и перемножить их:
НОК(7500,25)=2•2•3•5•5•5•5 =7500
Далее определим дополнительный множитель для дроби 1/25 .
7500:25=300 – дополнительный множитель для дроби 1/25 .
1/25=(1•300)/(25•300)=300/7500
Теперь сравниваем дроби 307/7500 и 300/7500 .
Так как 307>300, значит, 307/7500>300/7500
Таким образом, 307/7500>1/25
Что и требовалось доказать.
в) Для доказательства неравенства 11/825<16/1155 , необходимо сравнить данные дроби. Для того, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю. Для этого необходимо определить для чисел 825 и 1155 их наименьшее общее кратное (НОК). 825=3•5•5•11 1155=3•5•7•11 Для того, чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (в данном случае их нет) добавить к множителям большего числа и перемножить их: НОК(825,1155)=3•5•5•7•11=5775 Далее определим дополнительные множители для дробей 11/825 и 16/1155 . 5775:825=7 – дополнительный множитель для дроби 11/825 . 11/825=(11•7)/(825•7)=77/5775 5775:1155=5 – дополнительный множитель для дроби 16/1155 . 16/1155=(16•5)/(1155•5)=80/5775 Теперь сравниваем дроби 77/5775 и 80/5775 . Так как 77<80, значит, 77/5775<80/5775 Таким образом, 11/825<16/1155 Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Ищем все дроби со знаменателем $$13$$, которые больше $$\frac{7}{13}$$ и меньше $$\frac{15}{13}$$.

При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель. Значит, нужно взять дроби с числителями от $$8$$ до $$14$$:

$$\frac{8}{13},\ \frac{9}{13},\ \frac{10}{13},\ \frac{11}{13},\ \frac{12}{13},\ \frac{13}{13},\ \frac{14}{13}.$$

На координатном луче эти дроби располагаются между $$\frac{7}{13}$$ и $$\frac{15}{13}$$. При этом $$\frac{13}{13}=1$$, но в ответе оставляем дробь со знаменателем $$13$$.

2) Проверим неравенства.

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{7}=\frac{100}{700}, \qquad \frac{100}{700}<\frac{111}{700}. $$

Значит, $$\frac{1}{7}<\frac{111}{700}$$ — верно.

б) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{25}=\frac{300}{7500}, \qquad \frac{307}{7500}>\frac{300}{7500}. $$

Значит, $$\frac{307}{7500}>\frac{1}{25}$$ — верно.

в) Найдём общий знаменатель для $$825$$ и $$1155$$:

$$ 825=3\cdot 5\cdot 5\cdot 11, \qquad 1155=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11, $$

$$ \text{НОК}(825,1155)=3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11=5775. $$

Тогда

$$ \frac{11}{825}=\frac{77}{5775}, \qquad \frac{16}{1155}=\frac{80}{5775}. $$