Упр.2.108 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

Дроби n/20 и c/30, где n и с — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель этих дробей быть взаимно простыми?

Подробный ответ

Найдём, сколько квадратов со стороной $$15$$ см можно вырезать из каждого листа по длине и по ширине.

$$ 80:15=5 \;(\text{ост. }5), \qquad 140:15=9 \;(\text{ост. }5) $$

Из листа $$80 \times 140$$ см получится $$5 \cdot 9=45$$ заготовок, а отходы будут значительными.

$$ 105:15=7, \qquad 145:15=9 \;(\text{ост. }10) $$

Из листа $$105 \times 145$$ см получится $$7 \cdot 9=63$$ заготовки, отходы тоже есть.

$$ 120:15=8, \qquad 150:15=10 $$

Из листа $$120 \times 150$$ см получится $$8 \cdot 10=80$$ заготовок, и отходов не будет.

Значит, нужно взять листы размером $$120 \times 150$$ см.

Рассмотрим дробь $$\frac{n}{20}$$. Так как $$20=2^2 \cdot 5$$, то десятичной дробью могут быть любые дроби с этим знаменателем, например $$\frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}$$. Числитель и знаменатель такой дроби могут быть взаимно простыми, например $$\frac{3}{20}$$: числа $$3$$ и $$20$$ взаимно просты.

Для дроби $$\frac{c}{30}$$ имеем $$30=2 \cdot 3 \cdot 5$$. Чтобы дробь можно было представить в виде десятичной, числитель $$c$$ должен делиться на $$3$$, тогда дробь сокращается на $$3$$ и знаменатель становится вида $$10, 100$$ и т. п. Но если $$c$$ делится на $$3$$, то числитель и знаменатель $$c$$ и $$30$$ не могут быть взаимно простыми.