Упр.413 Часть 1 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс (Математика)

Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел.

Докажем свойства сложения дробей с одинаковыми знаменателями, используя свойства сложения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство.

Пусть дроби имеют общий знаменатель $$c$$. Тогда

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

По переместительному свойству сложения натуральных чисел

$$a+b=b+a.$$

Значит,

$$\frac{a+b}{c}=\frac{b+a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}.$$

Переместительное свойство доказано.

2. Сочетательное свойство.

Пусть дроби имеют общий знаменатель $$d$$. Тогда

$$\left(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{d}+\frac{c}{d}=\frac{(a+b)+c}{d}.$$

По сочетательному свойству сложения натуральных чисел

$$(a+b)+c=a+(b+c).$$

Тогда

$$\frac{(a+b)+c}{d}=\frac{a+(b+c)}{d}=\frac{a}{d}+\frac{b+c}{d}=\frac{a}{d}+\left(\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right).$$

Следовательно,

$$\left(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{d}+\left(\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right).$$

Сочетательное свойство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}, \qquad \left(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{d}+\left(\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right).$$