Проверь себя! Глава 1 ГДЗ Ткачёва 6 класс (Математика)

I уровень
1. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, высота которого 3 дм 6 см, ширина 2 дм 3 см, а длина 4 дм 5 см.
2. Найти число граней, рёбер и вершин: 1) пятиугольной призмы; 2) шестиугольной пирамиды.
3. Изобразить развёртку правильной четырёхугольной призмы с высотой 25 мм и стороной основания 3 см.
4. Изобразить произвольную четырёхугольную пирамиду.
5. Записать, каким многоугольником я&зяется каждая грань: октаэдра; икосаэдра; додекаэдра.
6. Модель куба (рис. 101, а), проколотую спицей, переместили в пространстве (рис. 101, б). На рисунке 101, б указать новое положение точек М и N.
7. Прочитать диалог «Кристаллы» из § 1. 1) Что называют бриллиантом? 2) Что такое фианит?
II уровень
1. Найти площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Высота призмы 11 см.
2. 1) Число всех рёбер призмы равно 24. Найти число её граней и вершин.
2) Число всех граней пирамиды равно 18. Найти число её рёбер и вершин.
3. Изобразить развёртку правильной треугольной призмы с высотой 3 см и стороной основания 25 мм.
4. Изобразить произвольную прямую четырёхугольную призму.
5. Гексаэдр (куб) рассекли плоскостью на два многогранника (рис. 102). Найти число: граней; рёбер; вершин каждого из полученных многограников.
6. Модель октаэдра (рис. 103, а), проколотую спицей, переместили в пространстве (рис. 103, б). На рисунке 103, б указать новое положение точек А и В.
7. Прочитать диалог «Кристаллы» из § 1. Привести примеры кристаллов и описать форму каждого из них.

I уровень

1. Переведём все размеры в сантиметры:

$$ 3\text{ дм }6\text{ см}=36\text{ см},\quad 2\text{ дм }3\text{ см}=23\text{ см},\quad 4\text{ дм }5\text{ см}=45\text{ см} $$

Тогда объём прямоугольного параллелепипеда:

$$ V=36\cdot 23\cdot 45=37260\text{ см}^3 $$

$$ 37260\text{ см}^3=37\text{ дм}^3\ 260\text{ см}^3 $$

2. Для призмы с основанием в виде $n$-угольника:

$$ \text{вершин }=2n,\quad \text{граней }=n+2,\quad \text{рёбер }=3n $$

1) Для пятиугольной призмы ($n=5$):

$$ 2\cdot 5=10 $$

$$ 5+2=7 $$

$$ 3\cdot 5=15 $$

Значит, 10 вершин, 7 граней, 15 рёбер.

2) Для шестиугольной пирамиды:

$$ \text{вершин }=n+1,\quad \text{граней }=n+1,\quad \text{рёбер }=2n $$

$$ 6+1=7,\quad 6+1=7,\quad 2\cdot 6=12 $$

Значит, 7 вершин, 7 граней, 12 рёбер.

3. Развёртка правильной четырёхугольной призмы состоит из двух квадратов со стороной 3 см и четырёх прямоугольников размером $3\text{ см}\times 25\text{ мм}$.

4. Произвольная четырёхугольная пирамида изображается с четырёхугольным основанием и одной вершиной, соединённой с вершинами основания.

5.

Октаэдр: грани — треугольники.

Икосаэдр: грани — треугольники.

Додекаэдр: грани — пятиугольники.

6. После перемещения модели куба точки $M$ и $N$ занимают новые положения, соответствующие их образам на рисунке.

7.

1) Бриллиант — это алмаз, огранённый до многогранника.

2) Фианит — это кристалл искусственного алмаза.

II уровень

1. Основание призмы — прямоугольный треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Его площадь:

$$ S_{\text{осн}}=\frac12\cdot 5\cdot 12=30\text{ см}^2 $$

Площадь двух оснований:

$$ 2\cdot 30=60\text{ см}^2 $$

Площадь боковой поверхности:

$$ 11\cdot 5+11\cdot 12+11\cdot 13=11\cdot(5+12+13)=11\cdot 30=330\text{ см}^2 $$

Полная площадь поверхности:

$$ 60+330=390\text{ см}^2 $$

2. 1) Для призмы:

$$ 3n=24 \Rightarrow n=8 $$

Тогда:

$$ 2n=16,\quad n+2=10 $$

Ответ: 16 вершин и 10 граней.

2) Для пирамиды:

$$ n+1=18 \Rightarrow n=17 $$

Тогда:

$$ n+1=18,\quad 2n=34 $$

Ответ: 18 вершин и 34 ребра.

3. Развёртка правильной треугольной призмы состоит из трёх прямоугольников высотой 3 см и двух равносторонних треугольников со стороной 25 мм.

4. Произвольная прямая четырёхугольная призма изображается с двумя равными четырёхугольными основаниями, расположенными параллельно, и боковыми рёбрами, перпендикулярными основаниям.

5. У куба после разрезания плоскостью получаются два многогранника, у каждого из которых:

$$ \text{граней }=7,\quad \text{рёбер }=15,\quad \text{вершин }=10 $$

6. На рисунке 103, б точки $A$ и $B$ занимают новые положения, соответствующие их образам после перемещения модели октаэдра.

7. Примеры кристаллов:

• поваренная соль — форма куба;
• кварц — форма шестигранной призмы;
• флюорит — кубическая форма или форма октаэдра;
• алмаз — кубическая форма или форма октаэдра;
• бриллиант — форма многогранника, чаще всего с 57 гранями;
• фианит — форма многогранника, чаще всего с 57 гранями.