Практические и прикладные задачи Глава 4 ГДЗ Ткачёва 6 класс (Математика)

1. Длина обруча, охватывающего тонкостенную бочку цилиндрической формы, равна 176 см. Высота бочки 85 см. Поместятся ли в ней 200 л воды?
2. Найти длину L орбиты искусственного спутника Земли, если он вращается на расстоянии 340 км от её поверхности. (Принять радиус Земли R = 6400 км, ? = 3,14 и результат округлить до сотен километров.)
3. При ремённой передаче (рис. 208) ведущий шкив с диаметром 40 см сделал 120 оборотов. Сколько при этом сделал оборотов ведомый шкив, если его диаметр равен:
1) 20 см; 2) 30 см?
4. Для создания круглой клумбы один конец верёвки привязали к колышку, вбитому в землю. К другому концу верёвки привязали заострённый колышек и, натягивая верёвку, его острым концом прочертили на земле окружность. Найти площадь намеченной клумбы, если рабочая длина верёвки 1,5 м. (Расчёт произвести, полагая ? = 3,14, и результат округлить до десятых долей квадратного метра.)
5. Радиус арены цирка равен 6,5 м. Найти приближённое значение:
1) длины окружности арены; 2) площади арены цирка.
6. Чтобы вытянуть ведро из колодца (с поверхности воды), нужно сделать 14 оборотов вала. Диаметр вала, на который наматывается верёвка, равен 2 дм. На какой примерно глубине находится вода в колодце?
7. Громоотвод предохраняет вокруг себя территорию в форме круга с радиусом, равным удвоенной высоте громоотвода. Определить площадь, защищённую громоотводом высотой: 1) 20 м; 2) 15 м. (Ответ округлить до сотен квадратных метров с недостатком.)
8. Представим себе, что Земля — идеальный шар с радиусом 6400 км. Допустим, что её по экватору плотно обтянули металлическим обручем. Затем обруч удлинили на 1 м и равномерно расправили над поверхностью Земли. Доказать, что в образовавшийся зазор пролезет кошка.
9. Моделируем. Изготовить модель цилиндра по алгоритму:
1) вырезать из картона два одинаковых круга радиуса 5 см (рис. 209, а);
2) сложить их вместе и близко к краю насквозь сделать 16 отверстий на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 209, б);
3) через все отверстия продеть нитки равной длины (30 см) и завязать узелки на их концах (рис. 209, в);
4) поднять конструкцию за верхний круг (рис. 209, г).
10. Моделируем. Изготовить модель конуса по алгоритму:
1) вырезать из картона круг радиуса 7 см;
2) проделать близко к краю круга 16 сквозных отверстий (рис. 210. а);
3) через все отверстия продеть нитки одинаковой длины (30 см), завязав с одной стороны узелок (рис. 210, б);
4) собрать все другие концы нитей без узелков в одной точке и поднять за это место конструкцию (рис. 210, в).

1. Длина обруча равна длине окружности бочки:

$$C=176\text{ см}$$

Тогда радиус бочки:

$$R=C:2\pi \approx 176:(2\cdot 3)=176:6\approx 29\text{ см}$$

Объём бочки:

$$V=\pi R^2H \approx 3\cdot 29^2\cdot 85$$

$$29^2=841$$

$$V\approx 3\cdot 841\cdot 85=214455\text{ см}^3$$

$$214455\text{ см}^3=214{,}455\text{ дм}^3\approx 214{,}5\text{ л}$$

Значит, в бочке поместится 200 л воды.

2. Расстояние от центра Земли до спутника:

$$r=6400+340=6740\text{ км}$$

Длина орбиты:

$$L=2\pi r\approx 2\cdot 3{,}14\cdot 6740=6{,}28\cdot 6740=42327{,}2\text{ км}$$

Округляя до сотен километров, получаем:

$$L\approx 42300\text{ км}$$

3. За один оборот ведущий шкив проходит путь, равный длине окружности:

$$C=\pi d$$

При $$d=40\text{ см}$$ и $$\pi\approx 3$$:

$$C\approx 3\cdot 40=120\text{ см}$$

За 120 оборотов он проходит:

$$120\cdot 120=14400\text{ см}$$

Теперь найдём число оборотов ведомого шкива.

1) При $$d=20\text{ см}$$:

$$C\approx 3\cdot 20=60\text{ см}$$

$$14400:60=240$$

2) При $$d=30\text{ см}$$:

$$C\approx 3\cdot 30=90\text{ см}$$

$$14400:90=160$$

4. Радиус клумбы равен длине верёвки:

$$R=1{,}5\text{ м}$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2\approx 3{,}14\cdot 1{,}5^2=3{,}14\cdot 2{,}25=7{,}065\text{ м}^2$$

$$S\approx 7{,}1\text{ м}^2$$

5. При $$R=6{,}5\text{ м}$$ и $$\pi\approx 3$$:

1) Длина окружности:

$$C=2\pi R\approx 2\cdot 3\cdot 6{,}5=39\text{ м}$$

2) Площадь круга:

$$S=\pi R^2\approx 3\cdot 6{,}5^2=3\cdot 42{,}25=126{,}75\text{ м}^2$$

6. За один оборот вал наматывает верёвку длиной, равной длине окружности вала:

$$C=\pi d\approx 3{,}14\cdot 2=6{,}28\text{ дм}$$

За 14 оборотов:

$$6{,}28\cdot 14=87{,}92\text{ дм}=8{,}792\text{ м}$$

Значит, вода находится примерно на глубине $$8{,}8\text{ м}$$.

7. Радиус защищённой территории равен удвоенной высоте громоотвода.

1) При высоте $$20\text{ м}$$:

$$R=2\cdot 20=40\text{ м}$$

$$S=\pi R^2\approx 3{,}14\cdot 40^2=3{,}14\cdot 1600=5024\text{ м}^2$$

Округляя до сотен с недостатком, получаем $$5000\text{ м}^2$$.

2) При высоте $$15\text{ м}$$:

$$R=2\cdot 15=30\text{ м}$$

$$S=\pi R^2\approx 3{,}14\cdot 30^2=3{,}14\cdot 900=2826\text{ м}^2$$

Округляя до сотен с недостатком, получаем $$2800\text{ м}^2$$.

8. Длина окружности Земли:

$$C=2\pi R\approx 2\cdot 3{,}14\cdot 6400=40192\text{ км}$$

После удлинения обруча на 1 м его длина станет:

$$40192\text{ км}+1\text{ м}=40192{,}001\text{ км}$$

Новый радиус обруча:

$$R_1=\frac{40192{,}001}{2\pi}\approx \frac{40192{,}001}{6{,}28}\approx 6400{,}000159\text{ км}$$

Зазор между обручем и поверхностью Земли:

$$6400{,}000159-6400=0{,}000159\text{ км}=0{,}159\text{ м}=15{,}9\text{ см}$$

Такой зазор достаточен, чтобы пролезла кошка.

9. При изготовлении модели цилиндра два одинаковых круга соединяются нитями одинаковой длины. Если поднять конструкцию за верхний круг, нити натянутся и образуют боковую поверхность цилиндра, а круги — его основания.

10. При изготовлении модели конуса нити одинаковой длины соединяют круг с одной общей точкой. При подъёме конструкции получается модель конуса: круг — основание, а нити — образующие.

Ответ

1) Поместится. 2) $$42300\text{ км}$$. 3) 1) $$240$$ оборотов; 2) $$160$$ оборотов. 4) $$7{,}1\text{ м}^2$$. 5) 1) $$39\text{ м}$$; 2) $$126{,}75\text{ м}^2$$. 6) $$8{,}8\text{ м}$$. 7) 1) $$5000\text{ м}^2$$; 2) $$2800\text{ м}^2$$. 8) Зазор примерно $$15{,}9\text{ см}$$, кошка пролезет. 9) и 10) Модели выполняются по указанному алгоритму.