Упр.981 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 981. Докажите, что при делении натурального числа р на натуральное число q (q > 1) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из (q-1) цифры.

При делении натурального числа $$p$$ на натуральное число $$q$$, где $$q>1$$, возможные остатки равны $$0,1,2,\dots,q-1$$. Значит, всего существует не более $$q$$ различных остатков.

Если остаток при делении равен $$0$$, то деление заканчивается и получается конечная десятичная дробь. Чтобы дробь была бесконечной периодической, остаток не должен стать равным нулю. Тогда возможны только остатки

$$1,2,3,\dots,q-1.$$

Их всего $$q-1$$. При делении в десятичную дробь одинаковый остаток всегда даёт одинаковую следующую цифру, поэтому один и тот же остаток не может породить две разные цифры в периоде. Следовательно, число различных цифр в периоде не превосходит числа возможных ненулевых остатков, то есть $$q-1$$.

Значит, при делении $$p$$ на $$q$$ получается бесконечная периодическая десятичная дробь, период которой состоит не более чем из $$q-1$$ цифры.

Ответ

Период десятичной дроби при делении $$p$$ на $$q$$ может содержать не более $$q-1$$ цифр.