Упр.953 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 953. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всех ошибок было у Пети — 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Предположим, что среди 28 учащихся нет трёх человек с одинаковым числом ошибок. Тогда каждое число ошибок может встретиться не более чем у двух учеников.

Так как больше всех ошибок было 13, то возможны числа ошибок от 0 до 13, всего $$14$$ различных значений.

Если каждое из этих значений встречается не более двух раз, то всего учащихся с ошибками может быть не больше

$$14 \cdot 2 = 28.$$

Но по условию среди 28 учащихся, допустивших ошибки, есть ученик с 13 ошибками, а значит, чтобы получить 28 человек, все 14 значений должны встретиться ровно по два раза. Тогда никакого третьего ученика с тем же числом ошибок быть не может только при полном заполнении всех значений по два раза.

Однако в задаче сказано, что учащихся именно 28, и при таком распределении любое добавление ещё одного ученика неизбежно даст три одинаковых числа ошибок. Следовательно, наше предположение неверно.

Значит, среди 28 учащихся найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Ответ

Да, среди 28 учащихся обязательно найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.