Упр.704 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 704. На плане (рис. 81) показана железная дорога и два города А и В. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию С, чтобы суммарная длина дороги от A до С и от С до В была наименьшей.

Чтобы сумма длин дорог от $$A$$ до $$C$$ и от $$C$$ до $$B$$ была наименьшей, используем свойство отражения.

Построим точку $$A_1$$, симметричную точке $$A$$ относительно железной дороги. Тогда для любой точки $$C$$ на железной дороге имеем:

$$AC = A_1C$$

Значит, сумма

$$AC + CB = A_1C + CB$$

будет наименьшей тогда, когда путь от $$A_1$$ до $$B$$ проходит через точку $$C$$ по кратчайшему расстоянию, то есть по прямой.

Следовательно, нужно провести отрезок $$A_1B$$ и взять точку его пересечения с железной дорогой. Это и будет искомое место для станции $$C$$.

В случае, когда точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от железной дороги и отрезок $$AB$$ пересекает её, станцию надо строить в точке пересечения отрезка $$AB$$ с железной дорогой.

Ответ

Станцию $$C$$ нужно построить в точке пересечения железной дороги с отрезком $$A_1B$$, где $$A_1$$ — точка, симметричная $$A$$ относительно железной дороги.