Упр.617 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

1. Отрезок, соединяющий точки $$0$$ и $$1$$ на координатной оси, разделили пополам — получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам — получили ещё два отрезка. Правый из них разделили пополам и т. д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Первые точки получаются как середины правых отрезков:

$$\frac{0+1}{2}=\frac12$$
$$\frac{\frac12+1}{2}=\frac34$$
$$\frac{\frac34+1}{2}=\frac78$$
$$\frac{\frac78+1}{2}=\frac{15}{16}$$
$$\frac{\frac{15}{16}+1}{2}=\frac{31}{32}$$

Заметим закономерность: знаменатель каждый раз удваивается, а числитель на 1 меньше знаменателя. Значит, следующие точки имеют координаты:

$$\frac{63}{64},\ \frac{127}{128},\ \frac{255}{256},\ \frac{511}{512},\ \frac{1023}{1024}$$

Ответ

Первые пять точек: $$\frac12,\ \frac34,\ \frac78,\ \frac{15}{16},\ \frac{31}{32}$$.
Следующие пять точек: $$\frac{63}{64},\ \frac{127}{128},\ \frac{255}{256},\ \frac{511}{512},\ \frac{1023}{1024}$$.