Упр.417 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 417. Можно ли записать в строчку 9 таких чисел, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Подробный ответ

Обозначим девять чисел так: $$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_9.$$

По условию сумма любых трёх соседних чисел положительна, значит

$$a_1+a_2+a_3>0,$$

$$a_2+a_3+a_4>0,$$

$$a_3+a_4+a_5>0,$$

$$a_4+a_5+a_6>0,$$

$$a_5+a_6+a_7>0,$$

$$a_6+a_7+a_8>0,$$

$$a_7+a_8+a_9>0.$$

Сложим все эти неравенства:

$$\begin{aligned} &(a_1+a_2+a_3)+(a_2+a_3+a_4)+(a_3+a_4+a_5)+\\ &(a_4+a_5+a_6)+(a_5+a_6+a_7)+(a_6+a_7+a_8)+(a_7+a_8+a_9)>0. \end{aligned}$$

Получаем, что сумма всех этих выражений положительна. Но в ней каждое из чисел $$a_2, a_3, \ldots, a_8$$ входит по три раза, а числа $$a_1$$ и $$a_9$$ — по одному разу. Значит, эта сумма равна

$$a_1+2a_2+3a_3+3a_4+3a_5+3a_6+3a_7+2a_8+a_9,$$

и она положительна.

Если бы сумма всех девяти чисел была отрицательной, то это противоречило бы условию о положительности сумм любых трёх соседних чисел: из них нельзя получить отрицательную общую сумму.

Следовательно, записать такие 9 чисел нельзя.