Упр.1148 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

1/(x+1/(y+1/z))=7/30.
б) Найдите целые числа x, y, z, для которых верно то же равенство.

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}} = \frac{1}{x+\frac{z}{yz+1}} = \frac{1}{\frac{x(yz+1)+z}{yz+1}} = \frac{yz+1}{xyz+x+z}. $$

Тогда

$$ \frac{yz+1}{xyz+x+z}=\frac{7}{30}. $$

Чтобы дробь равнялась $$\frac{7}{30}$$, удобно сначала рассмотреть числитель: он должен быть равен $$7$$. Значит,

$$ yz+1=7,\qquad yz=6. $$

а) Пусть $$x,y,z$$ — натуральные числа. Тогда возможны пары:

$$ (y,z)=(3,2),\ (2,3),\ (6,1),\ (1,6). $$

Проверим их.

1) Если $$y=3,\ z=2$$, то

$$ \frac{7}{x\cdot 3\cdot 2+x+2}=\frac{7}{30} $$

$$ \frac{7}{7x+2}=\frac{7}{30} $$

$$ 7x+2=30,\qquad 7x=28,\qquad x=4. $$

2) Если $$y=2,\ z=3$$, то

$$ \frac{7}{7x+3}=\frac{7}{30} $$

$$ 7x+3=30,\qquad x=\frac{27}{7}, $$

не подходит.

3) Если $$y=6,\ z=1$$, то

$$ \frac{7}{7x+1}=\frac{7}{30} $$

$$ 7x+1=30,\qquad x=\frac{29}{7}, $$

не подходит.

4) Если $$y=1,\ z=6$$, то

$$ \frac{7}{7x+6}=\frac{7}{30} $$

$$ 7x+6=30,\qquad x=\frac{24}{7}, $$

не подходит.

Значит, при натуральных числах подходит только

$$ x=4,\quad y=3,\quad z=2. $$

б) Пусть $$x,y,z$$ — целые числа. Тогда из условия $$yz=6$$ возможны также отрицательные пары:

$$ (y,z)=(-3,-2),\ (-2,-3),\ (-6,-1),\ (-1,-6). $$

Проверим, какие из них дают целое $$x$$.

Если $$y=-3,\ z=-2$$, то

$$ \frac{7}{x\cdot(-3)\cdot(-2)+x-2}=\frac{7}{30} $$

$$ \frac{7}{7x-2}=\frac{7}{30} $$

$$ 7x-2=30,\qquad x=\frac{32}{7}, $$

не подходит.

Для остальных отрицательных пар получаются значения $$x=\frac{27}{7},\ \frac{29}{7},\ \frac{24}{7}$$, которые не являются целыми.

Следовательно, единственное целочисленное решение такое же:

$$ x=4,\quad y=3,\quad z=2. $$

Ответ

а) $$x=4,\ y=3,\ z=2$$.

б) $$x=4,\ y=3,\ z=2$$.