Упр.1148 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)
- а) Найдите натуральные числа $$x$$, $$y$$, $$z$$, для которых верно равенство: $$\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}=\frac{7}{30}$$. б) Найдите целые числа $$x$$, $$y$$, $$z$$, для которых верно то же равенство.
Преобразуем левую часть:
$$\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}} = \frac{1}{x+\frac{z}{yz+1}} = \frac{1}{\frac{x(yz+1)+z}{yz+1}} = \frac{yz+1}{xyz+x+z}.$$
Тогда
$$\frac{yz+1}{xyz+x+z}=\frac{7}{30}.$$
Чтобы дробь равнялась $$\frac{7}{30}$$, удобно сначала рассмотреть числитель: он должен быть равен $$7$$. Значит,
$$yz+1=7,\qquad yz=6.$$
а) Пусть $$x,y,z$$ — натуральные числа. Тогда возможны пары:
$$(y,z)=(3,2),\ (2,3),\ (6,1),\ (1,6).$$
Проверим их.
1) Если $$y=3,\ z=2$$, то
$$\frac{7}{x\cdot 3\cdot 2+x+2}=\frac{7}{30}$$
$$\frac{7}{7x+2}=\frac{7}{30}$$
$$7x+2=30,\qquad 7x=28,\qquad x=4.$$
2) Если $$y=2,\ z=3$$, то
$$\frac{7}{7x+3}=\frac{7}{30}$$
$$7x+3=30,\qquad x=\frac{27}{7},$$
не подходит.
3) Если $$y=6,\ z=1$$, то
$$\frac{7}{7x+1}=\frac{7}{30}$$
$$7x+1=30,\qquad x=\frac{29}{7},$$
не подходит.
4) Если $$y=1,\ z=6$$, то
$$\frac{7}{7x+6}=\frac{7}{30}$$
$$7x+6=30,\qquad x=\frac{24}{7},$$
не подходит.
Значит, при натуральных числах подходит только
$$x=4,\quad y=3,\quad z=2.$$
б) Пусть $$x,y,z$$ — целые числа. Тогда из условия $$yz=6$$ возможны также отрицательные пары:
$$(y,z)=(-3,-2),\ (-2,-3),\ (-6,-1),\ (-1,-6).$$
Проверим, какие из них дают целое $$x$$.
Если $$y=-3,\ z=-2$$, то
$$\frac{7}{x\cdot(-3)\cdot(-2)+x-2}=\frac{7}{30}$$
$$\frac{7}{7x-2}=\frac{7}{30}$$
$$7x-2=30,\qquad x=\frac{32}{7},$$
не подходит.
Для остальных отрицательных пар получаются значения $$x=\frac{27}{7},\ \frac{29}{7},\ \frac{24}{7}$$, которые не являются целыми.
Следовательно, единственное целочисленное решение такое же:
$$x=4,\quad y=3,\quad z=2.$$
Ответ
а) $$x=4,\ y=3,\ z=2$$.
б) $$x=4,\ y=3,\ z=2$$.
