Упр.1098 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Задача Леонардо да Винчи. Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Обозначим точки пересечения окружностей через $$M$$ и $$N$$, а их центры — через $$A$$ и $$B$$. Пусть $$C$$ — любая точка прямой $$MN$$.

Так как окружности равны, то их радиусы равны:

$$AM = BM = AN = BN.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AMN$$ и $$\triangle BMN$$. У них:

$$AM = BM,$$
$$AN = BN,$$
$$MN$$ — общая сторона.

Значит, $$\triangle AMN \cong \triangle BMN$$, поэтому прямая $$MN$$ является осью симметрии для отрезка $$AB$$. Следовательно, она делит угол $$\angle ACB$$ пополам, а также перпендикулярна отрезку $$AB$$.

Итак, $$MN$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$. Любая точка этой прямой равноудалена от концов отрезка $$AB$$, то есть

$$CA = CB.$$

Значит, любая точка прямой, проходящей через точки пересечения равных окружностей, одинаково удалена от их центров.

Ответ

Любая точка прямой, проходящей через точки пересечения двух равных окружностей, равноудалена от их центров.