Упр.1097 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 1097. Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, перпендикулярную отрезку и делящую его пополам. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Пусть прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$a$$.

Возьмём произвольную точку $$N$$ на прямой $$a$$. Построим окружность с центром в точке $$N$$ и радиусом $$NA$$. Тогда точка $$A$$ лежит на этой окружности.

Так как окружность симметрична относительно прямой $$a$$, то точка $$B$$, симметричная точке $$A$$, тоже лежит на этой окружности. Значит, $$NB = NA$$.

Но $$NA$$ и $$NB$$ — радиусы одной и той же окружности, поэтому

$$NA = NB.$$

Следовательно, любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от его концов.

Ответ

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.