Упр.1042 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов, Решетников 6 класс, Просвещение: 1042. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили первую фигуру (рис. 114, а). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 2 равные части и на каждой из них как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили вторую фигуру (рис. 114,б). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 3 равные части и т. д. Вычислите периметр и площадь каждой из первых четырёх фигур, если сторона квадрата равна 12 см.

Подробный ответ

Сторона квадрата равна $$12$$ см.

Во всех фигурах периметр состоит только из дуг полукругов. Если на каждой стороне квадрата построено по $$n$$ равных полукругов, то длина одного диаметра равна $$\frac{12}{n}$$, а радиус — $$\frac{6}{n}$$.

Длина одной полуокружности равна $$\frac{\pi d}{2}$$, поэтому сумма длин всех дуг во всех фигурах одинакова и равна длине окружности с диаметром $$12$$, умноженной на $$2$$:

$$P=2\pi\cdot 12=24\pi\approx 75{,}36\text{ см}.$$

Площадь каждой фигуры равна площади квадрата плюс площади всех полукругов. Удобно считать через площади окружностей:

$$S=12^2+k\pi r^2,$$

где $$k$$ — число полукругов, а $$r$$ — их радиус.

1) Первая фигура. Здесь на каждой стороне по одному полукругу, значит $$r=6$$ см и полукругов $$4$$.

$$S_1=12^2+2\pi\cdot 6^2=144+72\pi\approx 370{,}08\text{ см}^2.$$

2) Вторая фигура. На каждой стороне по два полукруга, значит $$r=3$$ см и полукругов $$8$$.

$$S_2=12^2+4\pi\cdot 3^2=144+36\pi\approx 257{,}04\text{ см}^2.$$

3) Третья фигура. На каждой стороне по три полукруга, значит $$r=2$$ см и полукругов $$12$$.

$$S_3=12^2+6\pi\cdot 2^2=144+24\pi\approx 219{,}36\text{ см}^2.$$

4) Четвёртая фигура. На каждой стороне по четыре полукруга, значит $$r=1{,}5$$ см и полукругов $$16$$.

$$S_4=12^2+8\pi\cdot 1{,}5^2=144+18\pi\approx 200{,}52\text{ см}^2.$$