Упр.774 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

1. При каких значениях $$x$$ верно равенство: 1) $$x=|x|$$; 2) $$-x=|-x|$$; 3) $$-x=|x|$$; 4) $$x+|x|=0$$?

Используем определение модуля:

$$|x|=\begin{cases}x,& x\ge 0,\\-x,& x<0.\end{cases}$$

1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит равенство $$x=|x|$$ верно. При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ и тогда $$x=-x,$$ что возможно только при $$x=0.$$ Следовательно, равенство верно при $$x\ge 0.$$

2) Модуль числа $$-x$$ всегда неотрицателен. Если $$x\le 0,$$ то $$-x\ge 0,$$ значит $$|-x|=-x,$$ и равенство $$-x=|-x|$$ верно. Если $$x>0,$$ то $$|-x|=x,$$ и тогда $$-x=x,$$ что возможно только при $$x=0.$$ Следовательно, равенство верно при $$x\le 0.$$

3) Рассмотрим случаи:

если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и равенство $$-x=|x|$$ даёт $$-x=x,$$ откуда $$x=0;$$

если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и равенство становится тождеством $$-x=-x.$$

Значит, равенство верно при $$x\le 0.$$

4) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда $$x+|x|=x+x=2x=0,$$ откуда $$x=0.$$ Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда $$x+|x|=x-x=0.$$ Значит, равенство верно при $$x\le 0.$$

Ответ

1) $$x\ge 0$$; 2) $$x\le 0$$; 3) $$x\le 0$$; 4) $$x\le 0$$.