Упр.672 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Задача

2) Постройте четырехугольник ABCD по координатам его вершин:
а) A (3;2); B (-2;2); C (-2;-1); D (3;-1);
б) A (4;0); B (0;2); C (-4;0); D (0;-2);
в) A (4;0); B (0;3); C (-3;2); D (0;-1);
г) A (4;0); B (1;3); C (-2;3); D (-3;0);
д) A (-3;-2); B (-4;2); C (3;3); D (2;-4);
3) Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

Подробный ответ

Площадь четырёхугольника удобно находить по рисунку, разбивая его на простые фигуры.

а) Точки $$A(3;2),\ B(-2;2),\ C(-2;-1),\ D(3;-1)$$ образуют прямоугольник.

Его стороны равны:

$$AB=3-(-2)=5,$$

$$BC=2-(-1)=3.$$

Тогда

$$S=5\cdot 3=15\ \text{см}^2.$$

б) Четырёхугольник с вершинами $$A(4;0),\ B(0;2),\ C(-4;0),\ D(0;-2)$$ можно разбить диагональю на два равных треугольника.

У каждого треугольника основание равно $$4$$, а высота равна $$2$$, поэтому

$$S_{ABCD}=2\cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 2=8\ \text{см}^2.$$

в) Для точек $$A(4;0),\ B(0;3),\ C(-3;2),\ D(0;-1)$$ площадь найдём как сумму площадей двух треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{BCD}+S_{ABD}.$$

Тогда

$$S_{BCD}=\frac12 \cdot 4 \cdot 3=6,$$

$$S_{ABD}=\frac12 \cdot 4 \cdot 4=8.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=6+8=14\ \text{см}^2.$$

г) Для точек $$A(4;0),\ B(1;3),\ C(-2;3),\ D(-3;0)$$ удобно взять прямоугольник, внутри которого расположен четырёхугольник, и вычесть площади лишних треугольников.

Получаем:

$$S=7\cdot 3-\left(\frac12 \cdot 1 \cdot 3+\frac12 \cdot 3 \cdot 3\right)=21-(1{,}5+4{,}5)=15\ \text{см}^2.$$

д) Для точек $$A(-3;-2),\ B(-4;2),\ C(3;3),\ D(2;-4)$$ четырёхугольник помещается в квадрат со стороной $$7$$. Тогда

$$S=7^2-\left(\frac12 \cdot 1 \cdot 7+\frac12 \cdot 1 \cdot 7+\frac12 \cdot 1 \cdot 4+\frac12 \cdot 2 \cdot 5+1\cdot 2\right).$$

Вычислим:

$$S=49-(3{,}5+3{,}5+2+5+2)=49-16=33\ \text{см}^2.$$