Упр.319 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Задача

1) если сумма любых двух из трех натуральных чисел k, m и n делится на 3, то и сумма всех трех этих чисел делится на 3;
2) если сумма любых трех из четырех натуральных чисел делится на 4, то и каждое число делится на 4.

Подробный ответ

1) Обозначим сумму любых двух чисел через кратное 3 число:

$$ k+m=3a,\quad k+n=3b,\quad m+n=3c $$

Сложим эти равенства:

$$ (k+m)+(k+n)+(m+n)=3a+3b+3c $$
$$ 2k+2m+2n=3(a+b+c) $$

Правая часть делится на 3, значит и левая делится на 3. Тогда число

$$ 2(k+m+n) $$

делится на 3. Так как число 2 на 3 не делится, то и

$$ k+m+n $$

делится на 3.

2) Пусть даны четыре натуральных числа $$m, n, k, l$$. По условию сумма любых трёх из них делится на 4:

$$ m+n+k,\quad m+n+l,\quad m+k+l,\quad n+k+l $$

Сложим все четыре суммы:

$$ (m+n+k)+(m+n+l)+(m+k+l)+(n+k+l) $$
$$ =2m+2n+2k+2l=2(m+n+k+l) $$

Это число делится на 4, значит сумма $$m+n+k+l$$ делится на 2. Но нужно доказать, что каждое число делится на 4. Для этого рассмотрим разности любых двух данных сумм:

$$ (m+n+k)-(m+n+l)=k-l $$
$$ (m+n+k)-(m+k+l)=n-l $$
$$ (m+n+k)-(n+k+l)=m-l $$

Так как каждая из исходных сумм делится на 4, то и их разности делятся на 4. Значит,

$$ k-l,\quad n-l,\quad m-l $$

кратны 4. Тогда числа $$m, n, k$$ имеют одинаковый остаток при делении на 4, как и $$l$$. Пусть этот остаток равен $$r$$. Тогда

$$ m=4a+r,\quad n=4b+r,\quad k=4c+r,\quad l=4d+r $$

Подставим в сумму любых трёх чисел, например:

$$ m+n+k=4(a+b+c)+3r $$

По условию это число делится на 4, значит и $$3r$$ делится на 4. Но число 3 на 4 не делится, следовательно, $$r=0$$. Значит, каждое из чисел $$m, n, k, l$$ делится на 4.