Упр.318 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)
Докажите или опровергните утверждение:
- 1) если $$a$$ — простое число, то дробь $$\frac{a}{a+2}$$ несократима;
2) если $$\operatorname{НОД}(a;b)=k$$, то дроби $$\frac{a}{b+k}$$ и $$\frac{a}{b-k}$$ сократимы;
3) если дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима, то сократимы и дроби $$\frac{b}{a}$$, $$\frac{a-b}{b}$$ и $$\frac{a+b}{b}$$;
4) если $$\operatorname{НОД}(a;b)=1$$, то дробь $$\frac{b-a}{a+b}$$ несократима.
1) Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Возьмём $$a=2$$ — простое число. Тогда
$$\frac{a}{a+2}=\frac{2}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$
Дробь сократима, значит утверждение неверно.
2) Утверждение неверно. Возьмём, например, $$a=1$$ и $$b=5$$. Тогда $$\gcd(a;b)=\gcd(1;5)=1$$, то есть условие выполнено. Но
$$\frac{a}{b+k}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6},$$
эта дробь несократима. Значит утверждение неверно. Аналогично
$$\frac{a}{b-k}=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4},$$
и эта дробь тоже несократима.
3) Утверждение верно. Если дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима, то $$\gcd(a;b)>1$$. При этом
$$\gcd(a;b)=\gcd(a-b;b)=\gcd(a+b;b).$$
Значит, числители и знаменатели дробей $$\frac{b}{a}$$, $$\frac{a-b}{b}$$ и $$\frac{a+b}{b}$$ имеют общий делитель больше 1, поэтому эти дроби тоже сократимы.
4) Утверждение неверно. Возьмём, например, $$a=3$$ и $$b=5$$. Тогда $$\gcd(a;b)=1$$, но
$$\frac{b-a}{a+b}=\frac{5-3}{3+5}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$
Эта дробь сократима, значит утверждение неверно.
Ответ
1) неверно; 2) неверно; 3) верно; 4) неверно.
