Упр.318 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Задача

1) если a — простое число, то дробь a/(a+2) несократима;
2) если НОД (a;b)=k, то дроби a/(b+k) и a/(b-k) сократимы;
3) если дробь a/b сократима, то сократимы и дроби b/a,(a-b)/b и (a+b)/b;
4) если НОД (a;b)=1, то дробь (b-a)/(a+b) несократима.

Подробный ответ

1) Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Возьмём $$a=2$$ — простое число. Тогда

$$ \frac{a}{a+2}=\frac{2}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. $$

Дробь сократима, значит утверждение неверно.

2) Утверждение неверно. Возьмём, например, $$a=1$$ и $$b=5$$. Тогда $$\gcd(a;b)=\gcd(1;5)=1$$, то есть условие выполнено. Но

$$ \frac{a}{b+k}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}, $$

эта дробь несократима. Значит утверждение неверно. Аналогично

$$ \frac{a}{b-k}=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}, $$

и эта дробь тоже несократима.

3) Утверждение верно. Если дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима, то $$\gcd(a;b)>1$$. При этом

$$ \gcd(a;b)=\gcd(a-b;b)=\gcd(a+b;b). $$

Значит, числители и знаменатели дробей $$\frac{b}{a}$$, $$\frac{a-b}{b}$$ и $$\frac{a+b}{b}$$ имеют общий делитель больше 1, поэтому эти дроби тоже сократимы.

4) Утверждение неверно. Возьмём, например, $$a=3$$ и $$b=5$$. Тогда $$\gcd(a;b)=1$$, но

$$ \frac{b-a}{a+b}=\frac{5-3}{3+5}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}. $$

Эта дробь сократима, значит утверждение неверно.