Упр.312 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

1) Разложите эти числа на простые множители и запишите их наименьшее общее кратное.
2) Сравните наименьшее общее кратное с произведением чисел.
3) Сформулируйте гипотезу о наименьшем общем кратном нескольких попарно взаимно простых чисел и докажите ее.

Разложим числа на простые множители:

$$ 44=2^2\cdot 11 $$
$$ 117=3^2\cdot 13 $$
$$ 175=5^2\cdot 7 $$

Так как числа попарно взаимно простые, общих простых множителей у них нет. Поэтому наименьшее общее кратное равно произведению всех простых множителей в наибольших степенях:

$$ \text{НОК}(44;117;175)=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13 $$
$$ \text{НОК}(44;117;175)=900900 $$

Найдём произведение данных чисел:

$$ 44\cdot 117\cdot 175=900900 $$

Получаем, что наименьшее общее кратное равно произведению чисел.

Гипотеза: наименьшее общее кратное нескольких попарно взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Докажем это. Если числа попарно взаимно простые, то никакие два из них не имеют общих простых делителей. Значит, в разложении каждого числа на простые множители все простые множители различны. Чтобы число делилось на каждое из данных чисел, оно должно содержать все их простые множители. Наименьшее такое число получается при перемножении всех данных чисел. Следовательно,

$$ \text{НОК}(a_1,a_2,\dots,a_n)=a_1a_2\cdots a_n $$

для любых попарно взаимно простых чисел.

Ответ

$$ 44=2^2\cdot 11,\quad 117=3^2\cdot 13,\quad 175=5^2\cdot 7 $$
$$ \text{НОК}(44;117;175)=900900 $$
$$ 44\cdot 117\cdot 175=900900 $$
Наименьшее общее кратное нескольких попарно взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.