Упр.260 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Муравин, Муравина 6 класс, Дрофа: 260. В результате некоторой перестановки цифр число уменьшилось в три раза. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Подробный ответ

Обозначим исходное число через $$a$$, а число, полученное перестановкой его цифр, — через $$b$$. По условию

$$a=3b.$$

При перестановке цифр сумма цифр числа не меняется, значит, числа $$a$$ и $$b$$ имеют одинаковую сумму цифр. Следовательно, если одно из них делится на $$3$$, то и другое тоже делится на $$3$$.

Так как $$a=3b$$, то число $$a$$ делится на $$3$$. Тогда и $$b$$ делится на $$3$$, то есть

$$b=3n,$$

где $$n$$ — целое число.

Подставим это в равенство $$a=3b$$:

$$a=3\cdot 3n=9n.$$

Значит, число $$a$$ делится на $$9$$. Но тогда и число $$b=3n$$, имея ту же сумму цифр, тоже делится на $$9$$, то есть

$$b=9n.$$

Тогда

$$a=3b=3\cdot 9n=27n.$$

Следовательно, исходное число делится на $$27$$.