Упр.257 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Муравин, Муравина 6 класс, Дрофа: 257. Из некоторого натурального числа вычитают сумму его цифр. С получившимся числом проделывают то же самое и так далее. Докажите, что в конце концов получится нуль.

Пусть из натурального числа вычли сумму его цифр. Рассмотрим получившуюся разность.

Число и сумма его цифр имеют одинаковую сумму цифр по модулю 9, значит их разность делится на 9. Следовательно, после первого вычитания получится число, кратное 9.

Теперь снова вычтем из этого числа сумму его цифр. Для числа, кратного 9, разность с суммой его цифр снова делится на 9. Значит, на каждом шаге получается число, кратное 9.

Но сумма цифр любого числа не превосходит самого числа, поэтому при повторении процесса числа убывают. Единственное положительное число, кратное 9, которое может получиться в конце, — это $$9$$. Тогда при следующем шаге вычитаем сумму цифр числа $$9$$:

$$9-9=0$$

Значит, в конце концов получится нуль.

Ответ

Получится нуль.