Упр.212 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Муравин, Муравина 6 класс, Дрофа: 212. Найдите наименьшее из натуральных чисел, при умножении которого на 2 получается квадрат, а при умножении на 3 — куб натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 muravin6 212 65

Пусть искомое натуральное число равно $$x$$.

Тогда число $$2x$$ должно быть квадратом натурального числа, а число $$3x$$ — кубом натурального числа.

Разложим число $$x$$ на простые множители. Чтобы при умножении на $$2$$ получился квадрат, все показатели степеней в разложении числа $$2x$$ должны быть чётными. Значит, в разложении $$x$$ множитель $$2$$ должен входить с нечётной степенью, а все остальные простые множители — с чётными степенями.

Чтобы при умножении на $$3$$ получился куб, все показатели степеней в разложении числа $$3x$$ должны делиться на $$3$$. Значит, в разложении $$x$$ множитель $$3$$ должен входить с показателем, дающим после прибавления 1 кратность 3, а остальные показатели — кратны 3.

Подберём наименьшее число, удовлетворяющее обоим условиям. Для числа $$x$$ показатели степеней простых множителей должны быть такими:

• для $$2$$ — нечётный показатель, минимально $$1$$;
• для $$3$$ — показатель, который после прибавления 1 даст кратность 3, минимально $$2$$.

Значит,

$$x=2\cdot 3^2=18.$$

Проверим:

$$2\cdot 18=36=6^2,$$
$$3\cdot 18=54=2\cdot 3^3,$$

но $$54$$ не является кубом. Значит, число $$18$$ не подходит.

Возьмём следующее число, кратное $$18$$, — $$36$$:

$$2\cdot 36=72,$$
$$3\cdot 36=108,$$

оно тоже не подходит.

Следующее число — $$54$$:

$$2\cdot 54=108,$$
$$3\cdot 54=162,$$

не подходит.

Следующее число — $$72$$:

$$2\cdot 72=144=12^2,$$
$$3\cdot 72=216=6^3.$$

Оба условия выполняются.

Следовательно, наименьшее искомое число равно $$72$$.

Ответ

$$72$$