Упр.103 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)

1) Выпишите равные углы.
2) Убедитесь в том, что треугольники ABH и BCH подобны. Найдите коэффициент их подобия.
3) Найдите площадь треугольника ABC.
4) Найдите коэффициент подобия треугольников ABC и BHC.

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$ABC$$ прямой, а высота $$BH$$ опущена на гипотенузу $$AC$$, значит

$$\angle AHB=\angle BHC=\angle ABC=90^\circ.$$

Кроме того,

$$\angle ABH=\angle ACB,$$

$$\angle BAH=\angle CBH.$$

2) Следовательно, треугольники $$ABH$$ и $$BCH$$ подобны по двум углам.

Из подобия имеем

$$\frac{AH}{BH}=\frac{BH}{CH}.$$

Подставим данные:

$$\frac{16}{BH}=\frac{BH}{9}$$

$$BH^2=16\cdot 9$$

$$BH^2=144$$

$$BH=12\text{ см}.$$

Коэффициент подобия треугольников $$ABH$$ и $$BCH$$ равен

$$k=\frac{AH}{BH}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.$$

3) Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH.$$

Так как

$$AC=AH+HC=16+9=25\text{ см},$$

то

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 25\cdot 12=150\text{ см}^2.$$

4) Треугольники $$ABC$$ и $$BHC$$ подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол.

Из соответствия сторон получаем

$$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{HC}.$$

Подставим значения:

$$\frac{25}{BC}=\frac{BC}{9}$$

$$BC^2=25\cdot 9$$

$$BC^2=225$$

$$BC=15\text{ см}.$$

Тогда коэффициент подобия треугольников $$ABC$$ и $$BHC$$ равен

$$k=\frac{AC}{BC}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}.$$

Ответ

1) $$\angle AHB=\angle BHC=\angle ABC=90^\circ,$$ $$\angle ABH=\angle ACB,$$ $$\angle BAH=\angle CBH.$$
2) $$\triangle ABH \sim \triangle BCH,$$ коэффициент подобия $$\frac{4}{3}.$$
3) $$S_{ABC}=150\text{ см}^2.$$
4) Коэффициент подобия $$\triangle ABC$$ и $$\triangle BHC$$ равен $$\frac{5}{3}.$$