Упр.95 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Задача

Поскольку первый (нечетный) ход делает Рома, а второй (четный) Дима, восемнадцатый (четный) ход будет за Димой, а последний (нечетный) за Ромой.
Допустим, на доске уже написано 18 знаков 19-значного числа, то есть осталось записать последнюю цифру.
Рассмотрим все возможные варианты кратности трем суммы цифр полученного 18-значного числа.
Сумма цифр полученного 18-значного числа a может принимать одно из трех значений:
1) a=3•q+0 – число делится на 3 без остатка;
2) a=3•q+1 – число делится на 3 с остатком, остаток равен 1;
3) a=3•q+2 – число делится на 3 с остатком, остаток равен 2.
По правилу игры, в наборе цифр содержатся 1, 2 и 4.
2) Если полученное 18-значное число имеет сумму цифр вида a=3•q+1, то Роме достаточно записать цифру 2:
a+2=3•q+1+2=3•q+3
и сумма цифр 19-значного числа будет кратна 3, что означает, что само число также кратно 3 (Если каждое слагаемое кратно 3, то и сумма кратна 3).
3) Если полученное 18-значное число имеет сумму цифр вида a=3•q+2, то Роме достаточно записать цифру 1 или 4:
a+1=3•q+2+1=3•q+3
или
a+4=3•q+2+4=3•q+6=3•q+3•2
и сумма цифр 19-значного числа будет кратна 3, что означает, что само число также кратно 3.
Рассмотрим стратегию игры, которой должен придерживаться Дима, чтобы Рома не смог получить число, которое делится нацело на 3.
Рома может проиграть только в одном случае.
1) Если полученное 18-значное число имеет сумму цифр вида a=3•q, то какую бы цифру (1, 2 или 4) Рома не записал:
a+1=3•q+1
или
a+2=3•q+2
или
a+4=3•q+4,
сумма цифр 19-значного числа не будет кратна 3, что означает, что само число также не делится нацело на 3.
Если одно из слагаемых не кратно 3, а другое кратно 3, то их сумма не кратна 3.
Значит, получить 19-значное число, которое кратно 3 Рома не сможет.
Получается, что Диме нужно каждым своим ходом постоянно получать число, которое делится нацело на 3.
Почему Рома не может применить такую же стратегию против Димы?
Потому что, Дима постоянно делает четный ход, поэтому, начиная со второго хода игры, он всегда сможет создавать число, которое будет кратно 3. Ему нельзя отклоняться от этой тактики ни на один ход, иначе Рома сможет сделать своим нечетным ходом число, которое будет кратно 3. И сможет удержать позицию до последнего хода.
Ответ: Да, Дима может помешать Роме.

Подробный ответ

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Рома делает 1-й, 3-й, 5-й, …, 19-й ход, а Дима — 2-й, 4-й, …, 18-й. Значит, последний ход за Ромой.

Пусть после 18 ходов сумма цифр уже записанного числа равна $$a$$. Тогда возможны три случая:

$$a=3q$$;
$$a=3q+1$$;
$$a=3q+2$$.

Если $$a=3q+1$$, то Рома может дописать цифру $$2$$:

$$a+2=3q+1+2=3q+3,$$

и сумма цифр станет кратной 3.

Если $$a=3q+2$$, то Рома может дописать цифру $$1$$ или $$4$$:

$$a+1=3q+2+1=3q+3,$$

или

$$a+4=3q+2+4=3q+6,$$

и снова сумма цифр будет кратна 3.

Но если $$a=3q$$, то какую бы цифру из $$1,2,4$$ ни дописал Рома, получим:

$$a+1=3q+1,$$

$$a+2=3q+2,$$

$$a+4=3q+4,$$

то есть сумма цифр не будет делиться на 3.

Значит, Дима должен на своём ходе каждый раз добиваться, чтобы сумма цифр была кратна 3. Тогда Рома на последнем ходе уже не сможет сделать сумму цифр кратной 3, потому что цифры $$1,2,4$$ не дают нужного остатка.

Следовательно, Дима может помешать Роме получить число, кратное 3.