Упр.94 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Рассмотрим произведение: 1•2•3•…•999•1000=a
Так как в нем есть множитель 9 (в любом из чисел 9, 18, 27, …, 999), то значение этого произведения a будет кратно 9.
Если число кратно 9, то сумма его цифр также кратна 9. Значит, сумма цифр числа a кратна 9.
Пусть сумма цифр числа a равна b, тогда число b делится нацело на 9, а по признаку, сумма цифр числа b также кратна 9.
Найдем значение суммы цифр числа b, пусть это число c.
Поскольку число b кратно 9, то и его сумма цифр – число c, также кратно 9.
Продолжая находить сумму цифр каждого другого числа, которое кратно 9, мы будем получать число кратное 9.
Продолжим находить сумму цифр каждого из полученных чисел. Через некоторое число действий у нас останется двузначное число, которое делится нацело на 9. Таким числом может быть одно из чисел 18, 27, 36, …, 90, 99.
Сумма цифр каждого из этих чисел, кроме 99, равна 9.
В случае с числом 99 потребуется найти сумму цифр еще раз: 9+9=18 > 1+8=9, она снова кратна 9 и состоит из одного знака.
Поскольку, сумма цифр числа, равного произведению 1•2•3•…•999•1000 кратна 9, то однозначное число, которое можно получить в результате последовательного нахождения суммы цифр полученных чисел, также кратно 9 и равно 9.
Ответ: 9.

Обозначим

$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000=a.$$

В произведении есть множитель $$9$$, значит, число $$a$$ делится на $$9$$.

Если число делится на $$9$$, то и сумма его цифр делится на $$9$$. Следовательно, сумма цифр числа $$a$$ тоже кратна $$9$$.

Точно так же сумма цифр этого числа снова будет кратна $$9$$, и так далее. Значит, на каждом шаге мы получаем число, делящееся на $$9$$.

В конце получится однозначное число, кратное $$9$$. Таким числом может быть только $$9$$.

Ответ: 9.