Упр.759 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 6 класс, Вентана-Граф: 759. Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных (рис. 49). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 merzlyak6 759 65

Длина полуокружности с диаметром $$d$$ равна

$$\frac{1}{2}\pi d.$$

Красная линия состоит из трёх полуокружностей, поэтому её длина равна

$$l_{\text{красн.}}=\frac{1}{2}\pi d_1+\frac{1}{2}\pi d_2+\frac{1}{2}\pi d_3=\frac{1}{2}\pi(d_1+d_2+d_3).$$

Зелёная линия состоит из четырёх полуокружностей, значит

$$l_{\text{зелён.}}=\frac{1}{2}\pi d_4+\frac{1}{2}\pi d_5+\frac{1}{2}\pi d_6+\frac{1}{2}\pi d_7=\frac{1}{2}\pi(d_4+d_5+d_6+d_7).$$

По рисунку сумма диаметров красных полуокружностей равна длине отрезка $$AB$$, и сумма диаметров зелёных полуокружностей тоже равна $$AB$$:

$$d_1+d_2+d_3=AB,$$

$$d_4+d_5+d_6+d_7=AB.$$

Тогда

$$l_{\text{красн.}}=\frac{1}{2}\pi AB,$$

$$l_{\text{зелён.}}=\frac{1}{2}\pi AB.$$

Следовательно,

$$l_{\text{красн.}}=l_{\text{зелён.}}.$$

Ответ

Сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг.