Упр.58 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Докажем, что произведение не может быть нечетным числом методом от противного.
Произведение только нечетных чисел является нечетным числом. Поэтому, предположим, что все девять слагаемых – нечетные числа. Тогда их сумма также нечетное число.
Из свойства 2: сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
Но, по условию, сумма чисел равна 1000-четному числу.
Получили, что нечет=чет, что неверно.
Значит, наше предположение, что все девять слагаемых нечетны – неверно. Среди этих чисел обязательно найдется хотя бы одно четное число (сумма только четного количества нечетных чисел является четным числом, значит, четных чисел может быть 1, 3, 5, 7 или 9).
Четных слагаемых нечетное количество. Так как, если в сумме будет, например, 6 четных слагаемых, то нечетных будет ровно 3, а их сумма обязательно нечетна. По свойству 3, итоговая сумма снова нечетна.
Если в произведении есть хотя бы одно четное число, то значение произведения четно.
Произведение четного и нечетного чисел является четным числом.
Ответ: Можно. Произведение будет обязательно четным числом.

Сумма девяти натуральных чисел равна $$1000$$, то есть является чётным числом.

Предположим, что все девять слагаемых нечётные. Тогда сумма нечётного количества нечётных чисел была бы нечётной. Но по условию сумма равна $$1000$$, а это чётное число. Получаем противоречие.

Значит, среди девяти слагаемых есть хотя бы одно чётное число. А произведение, в котором есть хотя бы один чётный множитель, всегда чётно.

Следовательно, произведение этих девяти натуральных слагаемых обязательно чётное.

Ответ: да, можно; произведение обязательно чётное.