Упр.1141 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

1) число *4* делилось нацело на 3 и на 10;
2) число 12*4* делилось нацело на 0 и па 5;
3) число 67* делилось нацело на 2 и на 3.
Найдите все возможные решения.
1141.
1) *4* делится на 3 и на 10.
Чтобы число делилось на 10, последняя цифра должна быть 0: *40.
Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма его цифр была кратна 3.
Пусть x – первая цифра, тогда x+4+0=x+4 делится на 3.
Неизвестная x может принимать значения 1, 2, 3, …, 9 (так как четырёхзначное число не может начинаться с цифры 0).
Перебирая все возможные цифры по очереди: 1+4=5,
2+4=6,…,9+4=13, получим несколько сумм, которые нам подходят – 6, 9 и 12.
Можно также заметить, что каждая третья цифра, начиная с 2, нам подходит.
Подходят варианты: (2+4):3=2
(5+4):3=3
(8+4):3=4
Искомые числа: 240, 540 и 840.
Ответ: 240, 540 и 840.
2) 12*4* делится на 9 и на 5.
Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть 0 или 5: 12*40 или 12*45.
Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр была кратна 9.
Пусть x – неизвестная цифра, тогда число 12*40 кратно 9, если
1+2+x+4+0=x+7 делится на 9.
Неизвестная x может принимать значения 0, 1, 2, 3, …, 9.
Перебирая все возможные цифры по очереди: 0+7=7,
1+7=8,2+7=9,…,9+7=16, получим, что только сумма 2+7=9 нам подходит.
Подходит только вариант: (2+7):9=1
Искомое число: 12240.
Пусть x – неизвестная цифра, тогда число 12*45 кратно 9, если
1+2+x+4+5=x+12 делится на 9.
Неизвестная x может принимать значения 0, 1, 2, 3, …, 9.
Перебирая все возможные цифры по очереди: 0+12=12,
1+12=13,2+12=14,…,9+12=21, получим, что только сумма 6+12=18 нам подходит.
Подходит только вариант: (6+12):9=2
Искомое число: 12645.
Ответ: 12240 и 12645.
3) 67* делится на 2 и на 3.
Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма его цифр была кратна 3.
Пусть x – неизвестная цифра, тогда 6+7+x=13+x делится на 3.
Число делится нацело на 2, значит, его последняя цифра должна быть чётной. Поэтому неизвестная x может принимать значения 0, 2, 4, 6 или 8.
Перебирая все возможные цифры по очереди: 13+0=13,
13+2=15,13+4=17,13+6=19,13+8=21, получим, что только суммы 13+2=15 и 13+8=21 нам подходят.
Подходят варианты: (13+2):3=5
(13+8):3=7
Искомые числа: 672 и 678.
Ответ: 672 и 678.

1) Чтобы число $$*4*$$ делилось на $$10$$, последняя цифра должна быть $$0$$. Получаем число $$*40$$.

Чтобы число делилось на $$3$$, сумма его цифр должна делиться на $$3$$. Пусть первая цифра — $$x$$. Тогда

$$x+4+0=x+4$$

должно делиться на $$3$$.

Проверяем цифры от $$1$$ до $$9$$. Подходят $$2$$, $$5$$ и $$8$$, так как

$$2+4=6,\quad 5+4=9,\quad 8+4=12.$$

Значит, возможные числа: $$240,\ 540,\ 840.$$

2) Чтобы число $$12*4*$$ делилось на $$5$$, последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$. Значит, возможны числа $$12*40$$ и $$12*45$$.

Чтобы число делилось на $$9$$, сумма его цифр должна делиться на $$9$$.

Для числа $$12×40$$ получаем:

$$1+2+x+4+0=x+7.$$

Нужно, чтобы $$x+7$$ делилось на $$9$$. Подходит только $$x=2$$, тогда

$$1+2+2+4+0=9.$$

Получаем число $$12240$$.

Для числа $$12×45$$ получаем:

$$1+2+x+4+5=x+12.$$

Нужно, чтобы $$x+12$$ делилось на $$9$$. Подходит только $$x=6$$, тогда

$$1+2+6+4+5=18.$$

Получаем число $$12645$$.

3) Чтобы число $$67*$$ делилось на $$2$$, последняя цифра должна быть чётной. Значит, $$x=0,2,4,6,8$$.

Чтобы число делилось на $$3$$, сумма цифр должна делиться на $$3$$:

$$6+7+x=13+x.$$

Проверяем чётные цифры:

$$13+0=13,\quad 13+2=15,\quad 13+4=17,\quad 13+6=19,\quad 13+8=21.$$

Подходят $$x=2$$ и $$x=8$$, так как $$15$$ и $$21$$ делятся на $$3$$.

Значит, возможные числа: $$672,\ 678.$$

Ответ

1) $$240,\ 540,\ 840$$; 2) $$12240,\ 12645$$; 3) $$672,\ 678$$.