Упр.1122 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Задача

Среднее арифметическое нескольких чисел – это число, равное сумме этих чисел, делённой на их количество.
Если к числу прибавить любое положительное число, то полученная сумма всегда будет больше данного числа.
Так как в вершинах записано восемь попарно различных чисел, мы всегда сможем найти среди них наименьшее. Пусть это будет число x, соседними с ним числами будут a, b и c.
Данные числа точно больше числа x, поэтому можно считать, что
a=x+k
b=x+l
c=x+m
Числа k, l и m также являются положительными.
Найдём среднее арифметическое чисел a, b и c:
(a+b+c)/3=((x+k)+(x+l)+(x+m))/3=(x+k+x+l+x+m)/3=((1+1+1)x+k+l+m)/3=(3x+k+l+m)/3==3x/3+(k+l+m)/3=x+(k+l+m)/3
Число (k+l+m)/3 также является положительным, значит среднее арифметическое чисел a, b и c больше числа x.
Другими словами, мы нашли вершину, в которой записано число меньшее среднего арифметического трёх соседних чисел.
Таким образом, доказано, что хотя бы одно из чисел, записанных в вершинах куба, меньше среднего арифметического трёх соседних чисел.

Подробный ответ

Пусть в одной из вершин куба записано наименьшее число $$x$$. Тогда три числа, записанные в соседних с этой вершиной вершинах, больше $$x$$. Обозначим их через $$x+k$$, $$x+l$$ и $$x+m$$, где $$k>0$$, $$l>0$$, $$m>0$$.

Найдём их среднее арифметическое:

$$ \frac{(x+k)+(x+l)+(x+m)}{3} = \frac{3x+k+l+m}{3} = x+\frac{k+l+m}{3}. $$

Так как $$k+l+m>0$$, то $$\frac{k+l+m}{3}>0$$, значит

$$ x+\frac{k+l+m}{3}>x. $$

Следовательно, число $$x$$ меньше среднего арифметического трёх соседних чисел.

Значит, хотя бы одно из чисел, записанных в вершинах куба, меньше среднего арифметического трёх соседних чисел.