Упр.1122 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

1. В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Пусть в одной из вершин куба записано наименьшее число $$x$$. Тогда три числа, записанные в соседних с этой вершиной вершинах, больше $$x$$. Обозначим их через $$x+k$$, $$x+l$$ и $$x+m$$, где $$k>0$$, $$l>0$$, $$m>0$$.

Найдём их среднее арифметическое:

$$\frac{(x+k)+(x+l)+(x+m)}{3} = \frac{3x+k+l+m}{3} = x+\frac{k+l+m}{3}.$$

Так как $$k+l+m>0$$, то $$\frac{k+l+m}{3}>0$$, значит

$$x+\frac{k+l+m}{3}>x.$$

Следовательно, число $$x$$ меньше среднего арифметического трёх соседних чисел.

Значит, хотя бы одно из чисел, записанных в вершинах куба, меньше среднего арифметического трёх соседних чисел.

Ответ

Доказано.