Упр.1063 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Задача

Докажем, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей, используя принцип Дирихле: если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
В задаче роль клеток отводится различным количествам сыгранных матчей, а «кролики» — это команды, участвующие в чемпионате.
Докажем методом от противного.
Предположим, что в некоторый момент чемпионата все 16 команд сыграли разное количество матчей.
Тогда максимальное число матчей, которое могла сыграть одна из команд – это 15 (она сыграла со всеми своими соперниками). А чтобы команды имели разное количество сыгранных матчей, нужно распределить между ними: 15, 14, 13, 12, …, 5, 4, 3, 2, 1 и 0 матчей. Получим ровно 16 различных вариантов для команд.
Однако, если одна из команд сыграла все 15 матчей, то в премьер-лиге не останется команды, которая бы не сыграла ни одного матча.
Значит, возможны только такие варианты:
15, 14, 13, 12, …, 5, 4, 3, 2, 1 или 14, 13, 12, 11, …, 5, 4, 3, 2, 1, 0
А это уже только 15 различных вариантов.
Команд 16, а различных вариантов количеств сыгранных матчей всего 15. Различных вариантов на один меньше, чем число команд.
«Кролики» не могут рассесться по клеткам по одному.
Значит, наше предположение не верно – всегда найдутся как минимум две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.
Таким образом, доказано, что в любой момент чемпионата можно найти две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

Подробный ответ

Рассмотрим количество сыгранных матчей у каждой из 16 команд. В одном матче участвуют только две команды, значит каждая команда может сыграть не более $$15$$ матчей.

Возможные количества сыгранных матчей: $$0, 1, 2, \ldots, 15.$$

Предположим, что все 16 команд сыграли разное число матчей. Тогда нужно, чтобы у команд были все 16 различных значений от $$0$$ до $$15$$.

Но если какая-то команда сыграла $$15$$ матчей, то она сыграла со всеми остальными командами, и тогда не может быть команды, не сыгравшей ни одного матча. Значит, набор $$0,1,2,\ldots,15$$ невозможен.

Следовательно, различных значений количества сыгранных матчей может быть не больше $$15$$. А команд $$16$$. По принципу Дирихле найдутся как минимум две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.