Контрольная работа 1 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

2. Разложите число 1 056 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 24 и 42; 2) 280 и 588.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 3 и 6; 2) 28 и 9; 3) 15 и 20.
5. Докажите, что числа 728 и 1 275 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 73* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Дима собирает модели самолётов. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, — на восьми полках. Сколько моделей у Димы, если известно, что их больше 100, но меньше 120?

1) Проверим делимость по признакам.

На 2 делятся числа, оканчивающиеся чётной цифрой: $$378,\ 576.$$

На 9 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 9:

$$3+7+8=18,$$
$$5+7+6=18,$$
$$8+9+3=20,$$
$$4+1+3+9=17.$$

Значит, на 9 делятся числа $$378$$ и $$576$$.

2) Разложим число $$1056$$ на простые множители:

$$1056=2\cdot 528=2^2\cdot 264=2^3\cdot 132=2^4\cdot 66=2^5\cdot 33=2^5\cdot 3\cdot 11.$$

Итак, $$1056=2^5\cdot 3\cdot 11.$$

3) Найдём НОД.

$$24=2^3\cdot 3,\qquad 42=2\cdot 3\cdot 7,$$

общие простые множители: $$2\cdot 3.$$ Тогда

$$\gcd(24,42)=2\cdot 3=6.$$

$$280=2^3\cdot 5\cdot 7,\qquad 588=2^2\cdot 3\cdot 7^2,$$

общие множители: $$2^2\cdot 7.$$ Тогда

$$\gcd(280,588)=2^2\cdot 7=28.$$

4) Найдём НОК.

$$3=3,\qquad 6=2\cdot 3,$$

поэтому

$$\operatorname{lcm}(3,6)=6.$$

$$28=2^2\cdot 7,\qquad 9=3^2,$$

тогда

$$\operatorname{lcm}(28,9)=2^2\cdot 7\cdot 3^2=252.$$

$$15=3\cdot 5,\qquad 20=2^2\cdot 5,$$

тогда

$$\operatorname{lcm}(15,20)=2^2\cdot 3\cdot 5=60.$$

5) Разложим числа на простые множители:

$$728=2^3\cdot 7\cdot 13,$$
$$1275=3\cdot 5^2\cdot 17.$$

Общих простых множителей нет, значит,

$$\gcd(728,1275)=1.$$

Следовательно, числа $$728$$ и $$1275$$ взаимно простые.

6) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Для числа $$173*$$ сумма цифр равна

$$1+7+3+*=11+*.$$

Чтобы сумма делилась на 3, цифра вместо звёздочки должна быть равна $$1,\ 4$$ или $$7$$.

Получаем числа: $$1731,\ 1734,\ 1737.$$

7) Число моделей делится и на 14, и на 8, значит, оно делится на их НОК.

$$14=2\cdot 7,\qquad 8=2^3,$$

$$\operatorname{lcm}(14,8)=2^3\cdot 7=56.$$

Искомое число больше $$100$$ и меньше $$120$$, кратное $$56$$, — это

$$56\cdot 2=112.$$

Ответ

1) На 2: $$378,\ 576$$; на 9: $$378,\ 576$$.
2) $$1056=2^5\cdot 3\cdot 11$$.
3) $$\gcd(24,42)=6$$; $$\gcd(280,588)=28$$.
4) $$\operatorname{lcm}(3,6)=6$$; $$\operatorname{lcm}(28,9)=252$$; $$\operatorname{lcm}(15,20)=60$$.
5) Числа $$728$$ и $$1275$$ взаимно простые.
6) $$1,\ 4,\ 7$$.
7) $$112$$ моделей.