Упр.5.29 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 6 класс (Математика)
Многоугольник, изображённый на рисунке 5.12, а, называют снежинкой Коха. Постройте её по следующему алгоритму:
• начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см (рис. 5.12, б);
• каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник (рис. 5.12, в);
• повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника (рис. 5.12, г);
• чтобы получить снежинку, изображённую на рисунке 5.12, а, надо сделать ещё один шаг построения.
Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения? Во сколько раз при этом уменьшается длина её стороны? Сколько сторон у снежинки, получаемой на каждом шаге? Чему равен её периметр?
На каждом шаге построения каждая сторона заменяется четырьмя новыми сторонами. Значит, число сторон увеличивается в 4 раза.
При этом каждая новая сторона составляет треть прежней, то есть длина стороны уменьшается в 3 раза.
Начальный треугольник имеет 3 стороны. Тогда:
$$ 3 \to 12 \to 48 \to 192 $$
Следовательно, на каждом шаге число сторон равно:
$$ 3 \cdot 4^n $$
где $$n$$ — номер шага построения, если считать исходный треугольник нулевым шагом.
Длина стороны после каждого шага:
$$ 9 : 3 = 3 \text{ см}, \quad 3 : 3 = 1 \text{ см}, \quad 1 : 3 = \frac{1}{3} \text{ см} $$
Периметр не меняется, так как каждая сторона заменяется четырьмя сторонами, длина каждой из которых в 3 раза меньше, а значит общий периметр увеличивается в $$\frac{4}{3}$$ раза на каждом шаге. Для снежинки, изображённой на рисунке, получаем:
$$ 192 \cdot \frac{1}{3} = 64 \text{ см} $$
Ответ
Число сторон увеличивается в 4 раза, длина стороны уменьшается в 3 раза. На шагах построения число сторон равно $$3$$, $$12$$, $$48$$, $$192$$. Периметр последней снежинки равен $$64$$ см.
