Упр.2.35 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 6 класс (Математика)

Рассмотрите последовательность чисел: $$\frac{1}{2},\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3,\ldots$$. Начиная с какого показателя степени числа в этой последовательности будут меньше $$\frac{1}{10}$$; $$\frac{1}{100}$$; $$\frac{1}{1000}$$?

В последовательности $$\frac12,\ \left(\frac12\right)^2,\ \left(\frac12\right)^3,\dots$$ при увеличении показателя степени дробь становится меньше, так как знаменатель растёт.

Найдём, с какого показателя степени значение дроби станет меньше заданных чисел:

$$\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad \left(\frac12\right)^3=\frac18$$

Чтобы дробь стала меньше $$\frac{1}{10}$$, нужно, чтобы

$$\left(\frac12\right)^n<\frac{1}{10}$$

Проверим ближайшие степени:

$$\left(\frac12\right)^3=\frac18>\frac{1}{10},\qquad \left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{10}$$

Значит, начиная с четвёртого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{10}$$.

Аналогично:

$$\left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}>\frac{1}{100},\qquad \left(\frac12\right)^7=\frac{1}{128}<\frac{1}{100}$$

Значит, начиная с седьмого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{100}$$.

$$\left(\frac12\right)^9=\frac{1}{512}>\frac{1}{1000},\qquad \left(\frac12\right)^{10}=\frac{1}{1024}<\frac{1}{1000}$$

Значит, начиная с десятого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{1000}$$.

Ответ

$$\frac{1}{10}$$ — с 4-го показателя степени; $$\frac{1}{100}$$ — с 7-го; $$\frac{1}{1000}$$ — с 10-го.