Упр.2.35 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 6 класс (Математика)

Задача

1/2, (1/2)^2, (1/2)^3, … .
Начиная с какого показателя степени числа в этой последовательности будут меньше 1/10; 1/100; 1/1000?

Подробный ответ

В последовательности $$\frac12,\ \left(\frac12\right)^2,\ \left(\frac12\right)^3,\dots$$ при увеличении показателя степени дробь становится меньше, так как знаменатель растёт.

Найдём, с какого показателя степени значение дроби станет меньше заданных чисел:

$$ \left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad \left(\frac12\right)^3=\frac18 $$

Чтобы дробь стала меньше $$\frac{1}{10}$$, нужно, чтобы

$$ \left(\frac12\right)^n<\frac{1}{10} $$

Проверим ближайшие степени:

$$ \left(\frac12\right)^3=\frac18>\frac{1}{10},\qquad \left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{10} $$

Значит, начиная с четвёртого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{10}$$.

Аналогично:

$$ \left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}>\frac{1}{100},\qquad \left(\frac12\right)^7=\frac{1}{128}<\frac{1}{100} $$

Значит, начиная с седьмого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{100}$$.

$$ \left(\frac12\right)^9=\frac{1}{512}>\frac{1}{1000},\qquad \left(\frac12\right)^{10}=\frac{1}{1024}<\frac{1}{1000} $$

Значит, начиная с десятого показателя степени, члены последовательности будут меньше $$\frac{1}{1000}$$.